Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若恒成立，求的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，討論和兩種情況，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，解得答案.

（2）要證明，只需要證明，設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)性，得到，得到證明.

（1）由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

且當(dāng)時(shí)，，不合題意；

當(dāng)時(shí)，由得，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取到極小值，也是最小值，由題意，恒成立，

令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，所以，即.

（2），且在處取到極小值1，

又時(shí)，，時(shí)，，故且，

要證明：，只需證明，又，

故只需證明：，即證：，

即證：，即證：，

設(shè)，則，

因?yàn)?/span>，所以，由（1）知恒成立，

所以，即，

所以在上為增函數(shù)，所以，即命題成立.