Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）當(dāng)，且時(shí)，判斷函數(shù)是否存在極值，若存在，求出極值點(diǎn)；若不存在，說(shuō)明理由；

（2）若，對(duì)任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】試題分析; （1）令 ，求出 的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值即可；
（Ⅱ） 時(shí)，求 的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論 是奇數(shù)，偶數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論即可．

試題解析：（1）由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，所以，

當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，極小值點(diǎn)為.

（2）證：因?yàn)?/span>，所以.

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，則

∴所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，的最小值為.因此

所以成立.

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，要證，由于，所以只需證.

令，則，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，

所以當(dāng)時(shí)，恒有,命題成立.