【題目】已知函數(shù), 且.
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸,求實(shí)數(shù)的值;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值;
【答案】(1) (2) 當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值為;當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值為.
【解析】試題分析:(1)欲求實(shí)數(shù)a的值,只須求出切線斜率的值列出關(guān)于a的等式即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率,最后利用斜率為0即可求得a;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),討論a的取值范圍,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,從而可求出函數(shù)的最小值.
試題解析:
由題意得:
;
(1) 由曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得,即 ,解得;
(2) 設(shè),則只需求當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值.
令,解得或,而,即.
從而函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí),即時(shí),函數(shù)在上為減函數(shù), ;
當(dāng),即 時(shí),函數(shù)的極小值即為其在區(qū)間上的最小值, .
綜上可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值為;當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】南京市江北新區(qū)計(jì)劃在一個(gè)豎直長(zhǎng)度為20米的瀑布正前方修建一座觀光電梯。如圖所示,瀑布底部距離水平地面的高度為60米,電梯上設(shè)有一個(gè)安全拍照口, 上升的最大高度為60米。設(shè)距離水平地面的高度為米, 處拍照瀑布的視角為。攝影愛(ài)好者發(fā)現(xiàn),要使照片清晰,視角不能小于。
(1)當(dāng)米時(shí),視角恰好為,求電梯和山腳的水平距離。
(2)要使電梯拍照口的高度在52米及以上時(shí),拍出的照片均清晰,請(qǐng)求出電梯和山腳的水平距離的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程
已知平面直角坐標(biāo)系,以為極點(diǎn), 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)). 點(diǎn)是曲線上兩點(diǎn),點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為.
(1)寫(xiě)出曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程;
(2)求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為實(shí)常數(shù)).
(Ⅰ)若為的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(Ⅱ)討論函數(shù)在上的單調(diào)性.
(Ⅲ)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,底面,,,分別是棱,的中點(diǎn),為棱上的一點(diǎn),且//平面.
(1)求的值;
(2)求證:;
(3)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近年來(lái)許多地市空氣污染較為嚴(yán)重,現(xiàn)隨機(jī)抽取某市一年(365天)內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)()的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表:
指數(shù) | ||||||
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
天數(shù) | 4 | 13 | 18 | 30 | 20 | 15 |
記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失為(單位:元),指數(shù)為.當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時(shí),對(duì)企業(yè)沒(méi)有造成經(jīng)濟(jì)損失;當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時(shí),對(duì)企業(yè)造成的經(jīng)濟(jì)損失與成直線模型(當(dāng)指數(shù)為150時(shí),造成的經(jīng)濟(jì)損失為1100元,當(dāng)指數(shù)為200時(shí),造成的經(jīng)濟(jì)損失為1400元);當(dāng)指數(shù)大于300時(shí),造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元.
(1)試寫(xiě)出的表達(dá)式;
(2)試估計(jì)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取1天,該天經(jīng)濟(jì)損失大于1100且不超過(guò)1700元的概率;
(3)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季,這30天中有8天為嚴(yán)重污染,完成列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為該市本年度空氣嚴(yán)重污染與供暖有關(guān)?
非嚴(yán)重污染 | 嚴(yán)重污染 | 合計(jì) | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合計(jì) |
附:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)求證:當(dāng)時(shí), ;
(Ⅱ)若函數(shù)在(1,+∞)上有唯一零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
(Ⅰ)若函數(shù)存在相同的零點(diǎn),求的值;
(Ⅱ)若存在兩個(gè)正整數(shù),當(dāng)時(shí),有與同時(shí)成立,求的最大值及取最大值時(shí)的取值范圍.
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