Question

（2013•天津一模）設(shè)橢圓的中心在坐標(biāo)原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，一個頂點為A（0，2），右焦點F到點B(

2

，

2

)的距離為2．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點（0，-3）的直線l與橢圓相交于不同兩點M，N滿足|

AM

|=|

AN

|，試求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由右焦點F到點B(

2

，

2

)的距離為2列式求出c的值，結(jié)合b=2和求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求出兩交點M、N的坐標(biāo)和，從而求出線段MN的中點P的坐標(biāo)，由|

AM

| = |

AN

|，知點A在線段MN的垂直平分線上，由兩點式寫出AP的斜率，利用MN和AP垂直，斜率之積等于-1求直線l的斜率，則方程可求．

解答：解：（Ⅰ） 依題意，設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 ( a＞b＞0 )，
則其右焦點坐標(biāo)為F(c ， 0 ) ，c=

a2-b2

，
由|FB|=2，得

(c- 2 )2+(0- 2 )2

=2，
即(c-

2

)2+2=4，故c=2

2

．
又∵b=2，∴a²=b2+c2=22+(2

2

)2=12，
∴所求橢圓方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線l的方程為y=kx-3（k≠0），
由|

AM

| = |

AN

|，知點A在線段MN的垂直平分線上，
由

y=kx-3 x2 12 + y2 4 =1

得x²+3（kx-3）²=12
即（1+3k²）x²-18kx+15=0①
△=（-18k）²-4（1+3k²）×15=144k²-60＞0
即k2＞

5

12

時方程①有兩個不相等的實數(shù)根
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點P（x₀，y₀）
則x₁，x₂是方程①的兩個不等的實根，故有x1+x2=

18k

1+3k2

從而有x0=

x1+x2

2

=

9k

1+3k2

，y0=kx0-3=

9k2-3(1+3k2)

1+3k2

=

-3

1+3k2

于是，可得線段MN的中點P的坐標(biāo)為P(

9k

1+3k2

，

-3

1+3k2

)
又由于k≠0，因此直線AP的斜率為k1=

-3 1+3k2 -2

9k 1+3k2

=

-5-6k2

9k

由AP⊥MN，得

-5-6k2

9k

×k=-1
即5+6k²=9，解得k2=

2

3

＞

5

12

，∴k=±

6

3

，
∴所求直線l的方程為：y=±

6

3

x-3．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，運用了設(shè)而不求的解題思想，訓(xùn)練了兩直線垂直的條件，是難題．