已知是橢圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（1）當(dāng)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，求證：；
（2）當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求證：不可能為等邊三角形.

（1）詳見(jiàn)解析，（2）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）利用“點(diǎn)代法”求點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，在求解過(guò)程中證明結(jié)論.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f2/8/13sju2.png" style="vertical-align:middle;" />關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，代入橢圓方程得，兩式相減得，所以（2）本題實(shí)質(zhì)為“弦中點(diǎn)”問(wèn)題，設(shè)中點(diǎn)為，由“點(diǎn)差法”得又假設(shè)為等邊三角形時(shí)，有所以這與弦中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部矛盾，所以假設(shè)不成立.
試題解析：（1）證明：
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/94/e/iy9sx2.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上，
所以                 1分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f2/8/13sju2.png" style="vertical-align:middle;" />關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
所以，                2分
將代入②得③，
由①和③消解得，                     4分
所以.                     5分
（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，，
可得，不是等邊三角形.           6分
當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，顯然斜率不為0.
設(shè)直線(xiàn)：，中點(diǎn)為，
聯(lián)立消去得，         7分

由，得到①                 8分
又,
所以，
所以                     10分
假設(shè)為等邊三角形，則有，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e9/4/114lf3.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，即，          11分
化簡(jiǎn)，解得或       12分
這與①式矛盾，所以假設(shè)不成立.
因此對(duì)于任意不能使得,故不能為等邊三角形.      14分
考點(diǎn)：弦中點(diǎn)問(wèn)題，點(diǎn)代法求點(diǎn)的坐標(biāo)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，試問(wèn)，是否存在軸上的點(diǎn)，使得對(duì)任意的，為定值，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率，又橢圓上的任一點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若平行于軸的直線(xiàn)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、，過(guò)、兩點(diǎn)作圓心為的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓外.求的面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為，.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線(xiàn)相交于點(diǎn).
求證：以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（1）已知定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)N滿(mǎn)足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，，，求點(diǎn)P的軌跡方程.
（2）如圖，已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且異于點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)分別交于點(diǎn)，

（�。┰O(shè)直線(xiàn)的斜率分別為、，求證：為定值；
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，圓與直線(xiàn)相切于點(diǎn)，與正半軸交于點(diǎn)，與直線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為.點(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線(xiàn)．

（1）求圓的方程及曲線(xiàn)的方程；
（2）若兩條直線(xiàn)和分別交曲線(xiàn)于點(diǎn)、和、，求四邊形面積的最大值，并求此時(shí)的的值．
（3）證明：曲線(xiàn)為橢圓，并求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知點(diǎn)A（1，0）及圓，C為圓B上任意一點(diǎn)，求AC垂直平分線(xiàn)與線(xiàn)段BC的交點(diǎn)P的軌跡方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)
交橢圓于不同的兩點(diǎn)．

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使△是以為直角的直角三角形，若存在，求出的值，若不存，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線(xiàn)D的頂點(diǎn)是橢圓C：＝1的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合．
(1)求拋物線(xiàn)D的方程；
(2)過(guò)橢圓C右頂點(diǎn)A的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)D于M、N兩點(diǎn)．
①若直線(xiàn)l的斜率為1，求MN的長(zhǎng)；
②是否存在垂直于x軸的直線(xiàn)m被以MA為直徑的圓E所截得的弦長(zhǎng)為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．

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