Question

【題目】(導(dǎo)學(xué)號：05856334)

已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ax2＋1.

(Ⅰ)當(dāng)a＝－1時，求函數(shù)f(x)的極值；

(Ⅱ)當(dāng)a>0時，證明：存在正實(shí)數(shù)λ，使得λ恒成立．

Answer 1

【答案】(1) 函數(shù)f(x)有極大值，無極小值(2)見解析

【解析】試題分析：（1）運(yùn)用求解導(dǎo)數(shù)得出f′（x）=+2ax，x＞0，判斷（0， ）單調(diào)遞增，（ ，+∞）單調(diào)遞減，

得出f（x）極大值=f（）=ln+，無極小值．

（2）構(gòu)造g（x）=，當(dāng)a＞0時g（x）的定義域為R，

g′（x）=，g′（x）==0，x1=1，x2=1，

判斷得出g（x）在（﹣∞，x1）（x2，+∞）單調(diào)遞增，（1，2）單調(diào)遞減，求解得出極值，得出存在常數(shù)M，得出不等式恒成立．

試題解析：

(Ⅰ)依題意，f(x)＝ln x－x2＋1，x∈(0，＋∞)，f′(x)＝＝，

故當(dāng)x∈(0，)時，f′(x)>0，

當(dāng)x∈(，＋∞)時，f′(x)<0，

故函數(shù)f(x)有極大值f()＝ln－＋1＝－ln 2＋，無極小值.

(Ⅱ)令g(x)＝＝ (x＞0，a＞0)，

g′(x)＝，令g′(x)＝0，解得x1＝1－<0(舍去)，x2＝1＋>1，

當(dāng)x變化時，g′(x)與g(x)的變化情況如下表：

x	(0，x2)	x2	(x2，＋∞)
g′(x)	－	0	＋
g(x)	↘		↗

所以函數(shù)g(x)在(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0，x2)上單調(diào)遞減．

又因為g(1)＝0，當(dāng)0＜x<1時，g(x)＝>0；當(dāng)x>1時，g(x)＝<0，

所以當(dāng)0＜x≤1時，0≤g(x)＜g(0)＝1；當(dāng)x>1時，g(x2)≤g(x)<0.

記M為1，|g(x2)|中最大的數(shù)，則||≤λ恒成立M≤λ.

綜上，當(dāng)a>0時，存在正實(shí)數(shù)λ∈[M，＋∞)，使得對任意的實(shí)數(shù)x，不等式||≤λ恒成立.