【題目】【2018河南濮陽市高三一模】已知點在拋物線上， 是拋物線上異于的兩點，以為直徑的圓過點．

（I）證明：直線過定點；

（II）過點作直線的垂線，求垂足的軌跡方程．

【答案】（I）證明見解析；（II）．

【解析】試題分析：（1）代入點的坐標(biāo)得到拋物線方程，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用，代入根與系數(shù)的關(guān)系，求得，代入直線方程，得到定點；（2）根據(jù)（1）可知，點的軌跡滿足圓的方程，以為直徑的圓去掉，寫出圓的方程即可.

試題解析：(1)點在拋物線上，代入得，所以拋物線的方程為，

由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)， ，

聯(lián)立得，得， ，

由于，所以，即，

即.(*)

又因為， ，

代入(*)式得，即，

所以或，即或.

當(dāng)時，直線方程為，恒過定點，

經(jīng)驗證，此時，符合題意；

當(dāng)時，直線方程為，恒過定點，不合題意，

所以直線恒過定點.

(2)由(1)，設(shè)直線恒過定點，則點的軌跡是以為直徑的圓且去掉，方程為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某鎮(zhèn)在政府“精準(zhǔn)扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發(fā)展養(yǎng)殖業(yè)，以增加收入，政府計劃共投入72萬元，全部用于甲、乙兩個合作社，每個合作社至少要投入15萬元，其中甲合作社養(yǎng)魚，乙合作社養(yǎng)雞，在對市場進(jìn)行調(diào)研分析發(fā)現(xiàn)養(yǎng)魚的收益M、養(yǎng)雞的收益N與投入a（單位：萬元）滿足，N＝a+20．設(shè)甲合作社的投入為x（單位：萬元），兩個合作社的總收益為f（x）（單位：萬元）．

（1）當(dāng)甲合作社的投入為25萬元時，求兩個合作社的總收益；

（2）試問如何安排甲、乙兩個合作社的投入，才能使總收益最大，最大總收益為多少萬元？

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【題目】已知函數(shù).

（1）討論的導(dǎo)函數(shù)零點的個數(shù)；

（2）若函數(shù)的最小值為，求的取值范圍.

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【題目】為創(chuàng)建國家級文明城市，某城市號召出租車司機(jī)在高考期間至少參加一次“愛心送考”，該城市某出租車公司共200名司機(jī)，他們參加“愛心送考”的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示.

(1)求該出租車公司的司機(jī)參加“愛心送考”的人均次數(shù)；

(2)從這200名司機(jī)中任選兩人，設(shè)這兩人參加送考次數(shù)之差的絕對值為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司計劃投資A、B兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資量成正比例，其關(guān)系如圖1，B產(chǎn)品的利潤與投資量的算術(shù)平方根成正比例，其關(guān)系如圖2(注：利潤與投資量的單位：萬元)．

(1)分別將A、B兩產(chǎn)品的利潤表示為投資量的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該公司已有10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品中，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？

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【題目】某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線．

(1)寫出第一次服藥后，y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(t)；

(2)據(jù)進(jìn)一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療有效．求服藥一次后治療有效的時間是多長？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓，其中，焦距為2，過點的直線l與橢圓C交于點A，B，點B在A，M之間．又線段AB的中點的橫坐標(biāo)為，且.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(2)求實數(shù)的值．

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【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù)．

（1）求實數(shù)的值；

（2）若的圖像在直線下方，求b的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，若在上的最小值為0，求實數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】點分別是正方體的棱的中點，如圖所示，則下列命題中的真命題是________（寫出所有真命題的編號）．

①以正方體的頂點為頂點的三棱錐的四個面中最多只有三個面是直角三角形；②點在直線上運(yùn)動時，總有；③點在直線上運(yùn)動時，三棱錐的體積的定值；④若點是正方體的面內(nèi)的一動點，且到點和距離相等，則點的軌跡是一條線段．

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