Question

已知函數(shù)f（x）=（log_ax）²-log_ax-2（a＞0，a≠1）
（Ⅰ）當a=2時，求解關(guān)x的不等式f（）＞0
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[2，4]的最小值為4，求實數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）不等式即  --2＞0，解一元二次不等式求得①＞log₂4，
或②＜．分別求得①②的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）分a＞1和0＜a＜1兩種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性分別求得最小值，再根據(jù)最小值為4，求得a的值．
解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=（log_ax）²-log_ax-2，故當a=2時，f（x）=-log₂x-2．
故f（）=--2，故關(guān)于x的不等式f（）＞0，
即  --2＞0．
令t=，則不等式即 t²-t+2＞0，即 （t-2）（t+1）＞0．
解得 t＞2，或t＜-1，故有 ＞2，或  ＜-1，
即 ①＞log₂4，或②＜．
解①求得 ＞4，即 ，解得 ＜x＜1．
解②求得 0＜＜，即 ，即  ，
即  ，解得-1＜x＜-．
綜上，不等式的解集為 {x|-1＜x＜-，或＜x＜1}．
（Ⅱ） f（x）=（log_ax）²-log_ax-2=（log_ax-2）（log_ax+1）=•log_a（ax）．
當a＞1時，函數(shù) f（x）在[2，4]上增函數(shù)，故最小值為f（2）=•log_a（2a）=4，
化簡可得 （log_a2-2）（log_a2+1）=4，解得 log_a2=3，或 log_a2=-2 （舍去），故a=．
當0＜a＜1時，f（x）=•log_a（ax） 在[2，4]上增函數(shù)，
故最小值為f（2））=•log_a（2a）=4，解得得 log_a2=3（舍去），或 log_a2=-2，解得 a=．
綜上，a=，或a=．
點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，對數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．