Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點F₁、F₂，點P在橢圓C上，且PF₁⊥F₁F₂，且|PF₁|=

1

2

，|F1F2|=2

3

．
（I）求橢圓C的方程．
（II）以此橢圓的上頂點B為直角頂點作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由|F1F2|=2

3

，知c=

3

．由PF₁⊥F₁F₂，知|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2=

49

4

，|PF2|=

7

2

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由題意可知，直角邊BA，BC不可能垂直或平行于x軸，故可設(shè)BA邊所在直線的方程為y=kx+1（不妨設(shè)k＜0），則BC邊所在直線的方程為y=-

1

k

x+1，由

y=kx+1 x2+4y2

=4，得A(-

8k

1+4k2

，-

8k2

1+4k2

+1)，|AB|=

(- 8k 1+4k2 )2+(- 8k2 1+4k2 )2

=

8|k| 1+k2

1+4k2

，由此知存在三個內(nèi)接等腰直角三角形．

解答：解：（Ⅰ）∵|F1F2|=2

3

∴c=

3

又PF₁⊥F₁F₂，∴|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2=

49

4

，|PF2|=

7

2

，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4則c=

3

，∴a=2，b²=1
∴所求橢圓方程為

x2

4

+y2=1．（6分）
（Ⅱ）設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），
由題意可知，直角邊BA，BC不可能垂直或平行于x軸，
故可設(shè)BA邊所在直線的方程為y=kx+1（不妨設(shè)k＜0），則BC邊所在直線的方程為y=-

1

k

x+1，
由

y=kx+1 x2+4y2

=4，得A(-

8k

1+4k2

，-

8k2

1+4k2

+1)，
∴|AB|=

(- 8k 1+4k2 )2+(- 8k2 1+4k2 )2

=

8|k| 1+k2

1+4k2

，（9分）
用-

1

k

代替上式中的k，得|BC|=

8 1+k2

4+k2

，由|AB|=|BC|，得|k|（4+k²）=1+4k²
∵k＜0，∴解得：k=-1或k=

-3± 5

2

，故存在三個內(nèi)接等腰直角三角形．（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意橢圓性質(zhì)的靈活運用，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．