Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1=kS_n+2，又a₁=2，a₂=4
（1）求k的值及通項(xiàng)a_n
（2）若b_n=log₂a_n，試求所有正整數(shù)m，使

bm+1bm+2

bm

為數(shù)列{S_n}中的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S₂=kS₁+2，即a₁+a₂=ka₁+2，將a₁=2，a₂=4，代入上式，得k=2；當(dāng)n≥2時(shí)，能推導(dǎo)出a_n+1=2a_n，由此能導(dǎo)出a_n=2ⁿ．
（2）由b_n=log₂a_n=n，知S_n=2ⁿ⁺¹-2，所以

bm+1bm+2

bm

=

(m+1)(m+2)

m

=m+

2

m

+3，由此能求出求所有正整數(shù)m，使

bm+1bm+2

bm

為數(shù)列{S_n}中的項(xiàng)．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S₂=kS₁+2，即a₁+a₂=ka₁+2，將a₁=2，a₂=4
代入上式，得k=2；（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，

Sn+1=2Sn+2(1) Sn=2Sn-1+2(2)

（1）-（2）得a_n+1=2a_n（4分）
又因?yàn)?span id="5ldvhxn" class="MathJye">

a2

a1

=2，所以a_n為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，（6分）
所以a_n=2ⁿ．（7分）
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=n，S_n=2ⁿ⁺¹-2（9分）
則

bm+1bm+2

bm

=

(m+1)(m+2)

m

=m+

2

m

+3（10分）
因?yàn)閙∈N⁺，S_n∈N⁺，所以m∈1，2，當(dāng)m=1時(shí)m+

2

m

+3=6=S2，
當(dāng)m=2時(shí)m+

2

m

+3=6=S2，所以m=1或m=2（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和利用數(shù)列知識(shí)求解實(shí)際問題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．