Question

定義在D上的函數(shù)，如果滿足：存在常數(shù)M＞0，對(duì)任意x∈D都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)f(x)=2sin(x+

π

6

)+3在實(shí)數(shù)集R上，函數(shù)g(x)=x3+

3

x

在[

1

3

，3]上是不是有界函數(shù)？若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)出理由．
（2）若已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)距離S與時(shí)間t的關(guān)系為S(t)=

1

4

t4+3lnt-at，要使在t∈[

1

3

，3]上每一時(shí)刻的瞬時(shí)速度的絕對(duì)值都不大于13，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)函數(shù)f（x）的最大值和最小值可判斷M的值，進(jìn)而得到f（x）在R上是有界函數(shù)；對(duì)于函數(shù)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求x的值，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而得到g（x）在[

1

3

，1]上最大和最小值，然后令M=兩最值絕對(duì)值較大的一個(gè)，進(jìn)而可判斷是有界函數(shù)．
（2）對(duì)函數(shù)S（t）進(jìn)行求導(dǎo)得到瞬時(shí)速度，然后令瞬時(shí)速度的絕對(duì)值都小于等于13在t∈[

1

3

，3]上恒成立，然后轉(zhuǎn)化為a關(guān)于t的關(guān)系式a（t），使得a大于等于a（t）的最大值或小于等于a（t）的最小值，進(jìn)而得到a的范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=2sin(x+

π

6

)+3在R上的最大值為5，最小值為-1，
存在常數(shù)M=5，對(duì)任意x∈R都有|f（x）|≤M，∴f（x）在R上是有界函數(shù)．
∵g(x)=x3+

3

x

，x∈[1，3]，∴g/(x)=3x2-

3

x2

，
由g/(x)=3x2-

3

x2

=0，得x=1或x=-1
所以g（x）在[

1

3

，1]上單調(diào)遞減，g（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，而g(3)＞g(

1

3

)
∴g（x）在[

1

3

，3]上的最大值為g（3）=28，最小值為g（1）=4
所以存在常數(shù)M=28，對(duì)任意x∈[

1

3

，3]都有|g（x）|≤M，∴g（x）是[

1

3

，3]上是有界函數(shù)．
（2）因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)方程為S(t)=

1

4

t4+3lnt-at，所以瞬時(shí)速度V(t)=S/(t)=t3+

3

t

-a
由當(dāng)t∈[

1

3

，3]時(shí)，|V（t）|≤13恒成立，即|t3+

3

t

-a|≤13對(duì)t∈[

1

3

，3]恒成立
即

a≥t3+ 3 t -13 a≤t3+ 3 t +13

對(duì)t∈[

1

3

，3]恒成立，由（1）可得15≤a≤17
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍[15，17]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的有界性和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系．導(dǎo)數(shù)是由高等數(shù)學(xué)下放到高中的新內(nèi)容，每年必考，要給予重視．