【題目】(本小題滿分14分)

已知函數(shù)為常數(shù))的圖像與軸交于點,曲線在點處的切線斜率為.

(1)的值及函數(shù)的極值;

(2)證明:當時,

(3)證明:對任意給定的正數(shù),總存在,使得當時,恒有

【答案】(1)當時,有極小值,無極大值.

(2)見解析.(3)見解析.

【解析】

試題分析:(1)由,得.

從而.

,得駐點.討論可知:

時,,單調(diào)遞減;

時,單調(diào)遞增.

時,有極小值,無極大值.

(2)令,則.

根據(jù),知在R上單調(diào)遞增,又,

時,由,即得.

(3)思路一:對任意給定的正數(shù)c,取,

根據(jù).得到當時,.

思路二:令,轉(zhuǎn)化得到只需成立.

,,應(yīng)用導數(shù)研究的單調(diào)性.

思路三:就,,加以討論.

試題解析:解法一:

(1)由,得.

,得.

所以,.

,得.

時,單調(diào)遞減;

時,單調(diào)遞增.

所以當時,有極小值,

且極小值為

無極大值.

(2)令,則.

由(1)得,,即.

所以在R上單調(diào)遞增,又,

所以當時,,即.

(3)對任意給定的正數(shù)c,取,

由(2)知,當時,.

所以當時,,即.

因此,對任意給定的正數(shù)c,總存在,當時,恒有.

解法二:(1)同解法一.

(2)同解法一.

(3)令,要使不等式成立,只要成立.

而要使成立,則只需,即成立.

,則,易知當時,成立.

即對任意,取,當時,恒有.

,令,則

所以當時,內(nèi)單調(diào)遞增.

,

易知,,所以.

因此對任意,取,當時,恒有.

綜上,對任意給定的正數(shù)c,總存在,當時,恒有.

解法三:(1)同解法一.

(2)同解法一.

(3),取,

由(2)的證明過程知,

所以當時,有,即.

,

,則,

.

時,,單調(diào)遞增.

,

,

易知,又內(nèi)單調(diào)遞增,

所以當時,恒有,即.

綜上,對任意給定的正數(shù)c,總存在,當時,恒有.

練習冊系列答案
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.正確的個數(shù)是( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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⑶若,且對任意的 ,都有,求的取值范圍.

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