Question

【題目】如圖，三棱柱中，底面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，，在棱上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）存在，.

【解析】

（Ⅰ）連接，與相交于點(diǎn)，根據(jù)O，是中點(diǎn)，由三角形中位線得到，再由線面平行的判定定理證明.

（Ⅱ）由，又因?yàn)?/span>底面，建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，即，分別求得平面和平面的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的大小為，代入求解.

（Ⅰ）如圖所示：

連接，與相交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)辄c(diǎn)是棱的中點(diǎn)，

所以 ，且平面，平面，

所以平面；

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，，

所以，又因?yàn)?/span>底面，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

設(shè)，即，

則，

，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，所以，

取，則，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，所以，

取，則，

因?yàn)槎�面�?/span>的大小為，

所以，

即，

解得或(舍去)，

所以存在點(diǎn)，有，使二面角的大小為.