【題目】如圖，已知橢圓 的離心率為 ，F(xiàn)1、F2為其左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線(xiàn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，△F1AF2的周長(zhǎng)為 ．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求△AOB面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓的半焦距為c，則 ，由題意知 ，

二者聯(lián)立解得 ，c=1，則b2=1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為


（2）解：設(shè)直線(xiàn)l的方程為：x=ky﹣1，與 聯(lián)立，消x，整理得：（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，△=（﹣2k）2+4（k2+2）=8k2+8＞0， ， ，

所以 = = =

= = = = （當(dāng)且僅當(dāng) ，即k=0時(shí)等號(hào)成立），所以△AOB面積的最大值為 ．

說(shuō)明：若設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=k（x+1）（k≠0），則 ，與 聯(lián)立，消x，整理得： ， ，

所以 = = = = ，

當(dāng)且僅當(dāng) ，即k=0時(shí)等號(hào)成立，由k≠0，則 ．

當(dāng)直線(xiàn)l的方程為：x=﹣1時(shí)，此時(shí) ， ．

綜上所述：△AOB面積的最大值為


【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，利用離心率以及△F1AF2的周長(zhǎng)，解得a，c，然后求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為：x=ky﹣1，與 聯(lián)立，消x，整理得：（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0求出A，B的縱坐標(biāo)，表示出三角形的面積公式，化簡(jiǎn)整理，通過(guò)基本不等式求出最值．說(shuō)明：若設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=k（x+1）（k≠0），則 ，與 聯(lián)立，方法與前邊的求解相同．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)求時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)討論在定義域上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α（0≤α≤π）的始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)為A，將OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 至OB，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線(xiàn)，垂足為Q．記線(xiàn)段BQ的長(zhǎng)為y，則函數(shù)y=f（α）的圖象大致是（ ）

A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，點(diǎn)A，B分別是橢圓 的長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)PF的方程為： 且PA⊥PF．
（1）求直線(xiàn)AP的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線(xiàn)AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 與g（x）=cos（2x+φ） ，它們的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為 的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）將f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 倍，得到h（x）的圖象，若h（x）的最小正周期為π，求ω的值和h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè) 的平均數(shù)為 ，標(biāo)準(zhǔn)差是 ，則另一組數(shù) 的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別是( )
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知下列命題：（ ）
①向量 ， 不共線(xiàn)，則向量 與向量 一定不共線(xiàn)
②對(duì)任意向量 ， ，則 恒成立
③在同一平面內(nèi)，對(duì)兩兩均不共線(xiàn)的向量 ， ， ，若給定單位向量 和正數(shù) ，總存在單位向量 和實(shí)數(shù) ，使得
則正確的序號(hào)為（ ）
A.①②③
B.①③
C.②③
D.①②

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】將函數(shù)y=2cos（x﹣ ）的圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則函數(shù)y=g（x）的圖象（ ）
A.關(guān)于點(diǎn)（﹣ ，0）對(duì)稱(chēng)
B.關(guān)于點(diǎn)（ ，0）對(duì)稱(chēng)
C.關(guān)于直線(xiàn)x=﹣ 對(duì)稱(chēng)
D.關(guān)于直線(xiàn)x= 對(duì)稱(chēng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圓：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圓，則在前2012個(gè)圓中共有●的個(gè)數(shù)是（ ）
A.61
B.62
C.63
D.64

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