Question

給出下列四個命題：
①函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c為奇函數(shù)的充要條件是c=0；
②函數(shù)y=2^-x（x＞0）的反函數(shù)是y=-log₂x（0＜x＜1）；
③設(shè)f(x)=

1-2x

x+1

(x≥1)，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（n），n∈N*，則{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列；
④若函數(shù)y=f（x-1）是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱．其中所有正確命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：①由x|x|是奇函數(shù)，bx是奇函數(shù)，c是偶函數(shù)，知函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c為奇函數(shù)的充要條件是c=0；②由y=2^-x（x＞0），知0＜y＜1，x=-log₂y，x，y互換，得函數(shù)y=2^-x（x＞0）的反函數(shù)是y=-log₂x（0＜x＜1）；③由f(x)=

1-2x

x+1

(x≥1)，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（n），n∈N*，知f（n）=

3

n+1

-2，所以{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列；④y=f（x-1）是偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于y軸（x=0）對稱．變成y=f（x），需要向左平移1個單位． 故：y=f（x）關(guān)于x=-1對稱．

解答：解：①∵x|x|是奇函數(shù)，bx是奇函數(shù)，c是偶函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c為奇函數(shù)的充要條件是c=0；
故①成立；
②由y=2^-x（x＞0），知0＜y＜1，x=-log₂y，
x，y互換，得函數(shù)y=2^-x（x＞0）的反函數(shù)是y=-log₂x（0＜x＜1）；
故②成立；
③由f(x)=

1-2x

x+1

(x≥1)，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（n），n∈N*，
知f（n）=

3

n+1

-2，
∵n+1≥2，
∴f（n）單調(diào)減，
∴{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列．
故③成立；
④y=f（x-1）是偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于y軸（x=0）對稱．
變成y=f（x），需要向左平移1個單位．
故：y=f（x）關(guān)于x=-1對稱．
故④不成立．
故答案為：①②③．

點評：本題考查充分條件、必要條件和充要條件的判斷，解題時要認真審題，仔細解答，注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性和反函數(shù)的合理運用．