【題目】如圖, 在四棱錐中, 底面, ,, ,,點為棱的中點.
(1)證明::
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)若為棱上一點, 滿足, 求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析 (2) (3)
【解析】
(1)根據(jù)題意以為坐標原點,建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標,并表示出,由空間向量數(shù)量積運算即可證明.
(2)先求得平面的法向量,即可求得直線與平面法向量夾角的余弦值,即為直線與平面所成角的正弦值;
(3)由點在棱上,設(shè),再由,結(jié)合,由空間向量垂直的坐標關(guān)系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量,由空間向量數(shù)量積的運算求得兩個平面夾角的余弦值,再根據(jù)二面角的平面角為銳角即可確定二面角的余弦值.
(1)證明:∵底面,,
以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,
∵,,點為棱 的中點.
∴,,,,
,
,
.
(2),
設(shè)平面的法向量為.
則,代入可得,
令解得,即,
設(shè)直線與平面所成角為,由直線與平面夾角可知
所以直線與平面所成角的正弦值為.
(3),
由點在棱上,設(shè),
故,
由,得,
解得,
即,
設(shè)平面的法向量為,
由,得,
令,則
取平面的法向量,
則二面角的平面角滿足,
由圖可知,二面角為銳二面角,
故二面角的余弦值為.
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【題目】如圖,已知拋物線:與圓: ()相交于, , ,四個點,
(1)求的取值范圍;
(2)設(shè)四邊形的面積為,當最大時,求直線與直線的交點的坐標.
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【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)當時,求函數(shù)的極小值;
(Ⅱ)若函數(shù)有且只有一個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某度假酒店為了解會員對酒店的滿意度,從中抽取50名會員進行調(diào)查,把會員對酒店的“住宿滿意度”與“餐飲滿意度”都分別五個評分標準:1分(很不滿意);2分(不滿意);3分(一般);4分(滿意);5分(很滿意),其統(tǒng)計結(jié)果如下表(住宿滿意度為x,餐飲滿意度為y).
餐飲滿意度y 人數(shù) 住宿滿意度x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 0 |
2 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 |
3 | 1 | 2 | 5 | 3 | 4 |
4 | 0 | 3 | 5 | 4 | 3 |
5 | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
(1)求“住宿滿意度”分數(shù)的平均數(shù);
(2)求“住宿滿意度”為3分時的5個“餐飲滿意度”人數(shù)的方差;
(3)為提高對酒店的滿意度,現(xiàn)從且的會員中隨機抽取2人征求意見,求至少有1人的“住宿滿意度”為2的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面為梯形, 底面, , , , .
(1)求證:平面 平面;
(2)設(shè)為上的一點,滿足,若直線與平面所成角的正切值為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且直線是函數(shù)的一條切線.
(1)求的值;
(2)對任意的,都存在,使得,求的取值范圍;
(3)已知方程有兩個根,若,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中.
(Ⅰ)當為偶函數(shù)時,求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點,求的取值范圍.
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