Question

定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-5，-4]上是減函數，若A、B是銳角三角形的兩個內角，則（　�。�

A．f（sinA）＞f（sinB）

B．f（cosA）＜f（cosB）

C．f（sinB）＜f（cosA）

D．f（sinA）＞f（cosB）

Answer 1

分析：首先根據A、B是銳角三角形的兩個內角，結合y=cosx在區(qū)間（0，

π

2

）上是減函數，證出sinA＞cosB．然后根據偶函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），可得函數f（x）是周期為2的函數，且f（x）在[0，1]上是增函數．最后根據f（x）在[0，1]上是增函數，結合銳角三角形中sinA＞cosB，得到f（sinA）＞f（cosB）．

解答：解：∵A、B是銳角三角形的兩個內角
∴A+B＞

π

2

，可得A＞

π

2

-B，
∵y=cosx在區(qū)間（0，

π

2

）上是減函數，

π

2

＞A＞

π

2

-B＞0，
∴sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，即銳角三角形的兩個內角A、B是滿足sinA＞cosB，
∵函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），可得函數f（x）是周期為2的函數．
∵f（x）在[-5，-4]上是減函數，
∴f（x）在[-1，0]上也是減函數，
再結合函數f（x）是定義在R上的偶函數，可得f（x）在[0，1]上是增函數．
∵銳角三角形的兩個內角A、B是滿足sinA＞cosB，且sinB、cosA∈[0，1]
∴f（sinA）＞f（cosB）．
故選D

點評：本題以函數的單調性與奇偶性為例，考查了銳角三角形的性質、函數的定義域與簡單性質等知識點，屬于中檔題．