Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1=

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2

Sn+a，又a₁=2，a₂=1．
（1）求a的值；
（2）求S_n；
（3）是否存在正整數(shù)m、n，使

Sn+1＞2Sn-m Sn+1＞m

成立？若存在，求出m、n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意得，a1+a2=

1

2

a1+a，即可解出a．
（2）由Sn+1=

1

2

Sn+2，變形為Sn+1-4=

1

2

(Sn-4)，利用等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式即可得出．                  
（3）假設(shè)存在正整數(shù)m、n，使

Sn+1＞2Sn-m Sn+1＞m.

則2＜2ⁿ（4-m）＜6，由于m，n是正整數(shù)，可得2ⁿ（4-m）=4，解出即可．

解答：解：（1）由題意得，a1+a2=

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a1+a，即2+1=

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2

•2+a，∴a=2．                      
（2）∵Sn+1=

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2

Sn+2，∴Sn+1-4=

1

2

(Sn-4)，
∴數(shù)列{S_n-4}是以S₁-4=-2為首項(xiàng)，

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2

為公比的等比數(shù)列，
∴Sn-4=-2(

1

2

)n-1，∴Sn=4-22-n．                  
（3）假設(shè)存在正整數(shù)m、n，使

Sn+1＞2Sn-m Sn+1＞m.

則2＜2ⁿ（4-m）＜6，
∵m，n是正整數(shù)，∴2ⁿ（4-m）=4，
∴

2n=2 4-m=2

或

2n=4 4-m=1

∴

m=2 n=1

或

m=3 n=2

即存在正整數(shù)m、n，使

Sn+1＞2Sn-m Sn+1＞m

成立．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、等價(jià)轉(zhuǎn)化、整數(shù)的有關(guān)理論等是解題的關(guān)鍵．