Question

（理）已知向量

m

=（1，1），向量

n

和向量

m

的夾角為

3π

4

，|

m

|=

2

，

m

•

n

=-1．
（1）求向量

n

；
（2）若向量

n

與向量

q

=（1，0）的夾角為

π

2

，向量

p

=（cosA，2cos2

C

2

），其中A、B、C為△ABC的內(nèi)角a、b、c為三邊，b²+ac=a²+c²，求|

n

+

p

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式及向量模的坐標(biāo)公式列出方程組，求出

n

（2）利用

n

⊥

q

確定出

n

，利用三角形的余弦定理求出∠B，利用向量模的坐標(biāo)公式求出|

n

+

p

|2，利用三角函數(shù)的二倍角公式化簡三角函數(shù)，利用整體思想求出三角函數(shù)的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)

n

=（x，y），由

m

•

n

=-1得x+y=-1，
又∵

n

和

m

的夾角為

3π

4

，，

m

•

n

=|

m

||n|cos

3π

4

=-1，
∴|

n

|=1?x²+y²=1，
解方程組

x+y=-1 x2+y2=1

，可解得

n

=（-1，0）或（0，-1）．
（2）由

n

與

q

=（1，0）的夾角為

π

2

知

n

=（0，-1），
由b²+ac=a²+c²?∠B=

π

3

得∠A+∠C=

2π

3

，
則|

n

+

p

|²=cos2A+(2cos2

C

2

-1)2=cos²A+cos²C=

1+cos2A

2

+

1+cos2C

2

=1+

1

2

[cos2A+cos(

4π

3

-2A)]=1+

1

2

(

1

2

cos2A-

3

2

sin2A)=1+

1

2

cos(2A+

π

3

)．
0＜A＜

2π

3

?

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

?

1

2

≤1+

1

2

cos(2A+

π

3

)＜

5

4

，
∴|

n

+

p

|的取值范圍為[

2

2

，

5

2

）．

點評：本題考查向量的數(shù)量積公式、向量模的坐標(biāo)公式、三角形的余弦定理、三角函數(shù)的二倍角公式、整體思想求三角函數(shù)的值域