Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)（p，q），離心率e=

3

2

．其中p，q分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'．①試建立△AOB的面積關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系；②莆田十中高三（1）班數(shù)學(xué)興趣小組通過試驗(yàn)操作初步推斷：“當(dāng)m變化時(shí)，直線A'B與x軸交于一個(gè)定點(diǎn)”．你認(rèn)為此推斷是否正確？若正確，請(qǐng)寫出定點(diǎn)坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不正確，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由p，q分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差，可知橢圓過點(diǎn)（0，1），又離心率e=

3

2

，從而可求橢圓C的方程；
（2）①將直線x=my+1與橢圓C聯(lián)立，易求S=

1

2

|y1-y2| =

2

m2+4

m2+3

； ②取特殊點(diǎn)A′(0，1)，B(

8

5

，

3

5

)，直線A′B：x+4y-4=0與x軸的交點(diǎn)為S（4，0），猜想直線A′B與x軸交于定點(diǎn)S（4，0），再進(jìn)行證明．

解答：解：（1）依題意橢圓過點(diǎn)（0，1），從而可得

b=1 c a = 3 2 a2=b2+c2

（2分）
解得a=2，b=1．（3分），所以橢圓C的方程是

x2

4

+y2=1．（4分）
（2）①由

x2 4 +y2=1 x=my+1

得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0．（5分）
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A′(x1，-y1)，且y1+y2=-

2m

m2+4

，y1y2=-

3

m2+4

．（6分），易求S=

1

2

|y1-y2| =

2

m2+4

m2+3

（8分）                                         
②特別地，令y₁=-1，則x1=0，m=1，y2=

3

5

此時(shí)A′(0，1)，B(

8

5

，

3

5

)，直線A′B：x+4y-4=0與x軸的交點(diǎn)為S（4，0）
若直線A′B與x軸交于一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)只能為S（4，0）（9分）
以下證明對(duì)于任意的m，直線A′B與x軸交于定點(diǎn)S（4，0）
事實(shí)上，經(jīng)過點(diǎn)A′（x₁，-y₁），B（x₂，y₂）的直線方程為

y+y1

y2+y1

=

x-x1

x2-x1

．
令y=0，得x=

x2-x1

y2+y1

y1+x1．
只需證明

(x2-x1)y1

y2+y1

+x₁=4，（11分）
x₂=my₂+1，x₁=my₁+1
∴即證

m(y2-y1)y1

y2+y1

+my1-3=0，即證2my₁y₂-3（y₁+y₂）=0．
因?yàn)?span id="nfthtlf" class="MathJye">2my1y2-3(y1+y2)=

-6m

m2+4

-

-6m

m2+4

=0，所以2my₁y₂-3（y₁+y₂）=0成立．
這說明，當(dāng)m變化時(shí)，直線A′B與x軸交于點(diǎn)S（4，0）（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，對(duì)于恒過定點(diǎn)問題，通常先猜后證，主要細(xì)細(xì)體會(huì)．