Question

【題目】某工廠(chǎng)生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品所得的利潤(rùn)分別為和 (萬(wàn)元),它們與投入資金 (萬(wàn)元)的關(guān)系為:.今將300萬(wàn)資金投入生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品,并要求對(duì)甲乙兩種產(chǎn)品的投入資金都不低于75萬(wàn)元.

(1)設(shè)對(duì)乙種產(chǎn)品投入資金 (萬(wàn)元),求總利潤(rùn) (萬(wàn)元)關(guān)于的函數(shù);

(2)如何分配投入資金,才能使總利潤(rùn)最大?并求出最大總利潤(rùn).

Answer 1

【答案】(1);(2)當(dāng)甲產(chǎn)品投入200萬(wàn)元,乙產(chǎn)品投入100萬(wàn)元時(shí),總利潤(rùn)最大為130萬(wàn)元.

【解析】

（1）根據(jù)題意，對(duì)乙種產(chǎn)品投資（萬(wàn)元），對(duì)甲種產(chǎn)品投資（萬(wàn)元），利用利潤(rùn)公式，可求甲、乙兩種產(chǎn)品的總利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；

（2）利用配方法，可求總利潤(rùn)的最大值．

(1)根據(jù)題意,對(duì)乙種產(chǎn)品投資 (萬(wàn)元),對(duì)甲種產(chǎn)品投資 (萬(wàn)元),

那么總利潤(rùn),

由,解得,

所以,其定義域?yàn)?/span>;

(2)令,因?yàn)?/span>,故,

則,

所以當(dāng)時(shí),即時(shí),,

答:當(dāng)甲產(chǎn)品投入200萬(wàn)元,乙產(chǎn)品投入100萬(wàn)元時(shí),總利潤(rùn)最大為130萬(wàn)元.