已知函數(shù)f(x)=
mx+n
1+x2
是定義在[-
1
2
,
1
2
]上是奇函數(shù),且f(-
1
4
)=
8
17

(1)確定函數(shù)f(x)解析式
(2)用定義證明函數(shù)f(x)在[
1
2
1
2
]上是減函數(shù)
(3)若實(shí)數(shù)t滿足f(
t
3
)+f(t+1)<0,求t的取值范圍.
(1)∵函數(shù)f(x)=
mx+n
1+x2
為奇函數(shù),
∴對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,都有f(-x)=-f(x)
-mx+n
1+x2
=-
mx+n
1+x2
,可得-mx+n=-mx-n,得n=0
∴f(x)=
mx
1+x2

∵f(-
1
4
)=
8
17
,∴
-
1
4
m
1+
1
16
=
8
17
,解之得m=-1
因此,函數(shù)f(x)解析式為f(x)=
-x
1+x2

(2)由(1)知,f(x)=
-x
1+x2
,
設(shè)x1、x2∈[-
1
2
,
1
2
],且x1<x2,可得
f(x1)-f(x2)=
-x1
1+x12
-
-x2
1+x22
=
(x1-x2)(x1x2-1)
(1+x12)(1+x22)

∵x1-x2<0,x1x2-1<0,(1+x12)(1+x22)>0
∴f(x1)-f(x2)>0,得f(x1)>f(x2
由此可得函數(shù)f(x)在[
1
2
,
1
2
]上是減函數(shù);
(3)∵f(x)在[
1
2
,
1
2
]上是奇函數(shù)且是減函數(shù)
∴實(shí)數(shù)t滿足f(
t
3
)+f(t+1)<0,即f(
t
3
)<-f(t+1)=f(-t-1)
可得-
1
2
<-t-1<
t
3
1
2
,解之得-
3
4
<t<-
1
2

即得實(shí)數(shù)t的范圍為(-
4
3
,-
1
2
).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知函數(shù)f(x)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0,則當(dāng)x∈(0,
1
2
),不等式f(x)+2<logax恒成立時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

若函數(shù)f(x)=1+
m
ex-1
是奇函數(shù),則m的值為( 。
A.0B.
1
2
C.1D.2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知最小正周期為2的函數(shù)y=f(x),當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)=x2,則函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖象與y=|log5x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),則不等式f(2x-1)<f(
1
3
)
的解集是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

函數(shù)f(x)=
-1
x
+x
的圖象關(guān)于( 。
A.y軸對(duì)稱B.直線y=-x對(duì)稱
C.坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D.直線y=x對(duì)稱

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(1)判斷函數(shù)f(x)=
2x-1
x-1
在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性,并用定義法給出證明;
(2)判斷函數(shù)g(x)=x3+
1
x
的奇偶性,并用定義法給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R)
(1)若f(-1)=0,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)≥0成立,求實(shí)數(shù)a、b的值;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)x∈[-2,2]時(shí),g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,若f(x)≤m2-2am+2對(duì)所有x∈[-1,
2
-1],a∈[-1,1]
恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

函數(shù)y=f(x),(-
a2
2
≤x≤2)
是奇函數(shù),由實(shí)a數(shù)的值是( 。
A.-2B.2C.2或-2D.無(wú)法確定

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