Question

【題目】如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，，分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：平面.

（2）在線段上是否存在一點(diǎn)使得，，，四點(diǎn)共面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在；.

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明四邊形為平行四邊形，可得，由直線與平面平行的判定可得平面；

（2）取的中點(diǎn)，連接交于，在上取點(diǎn)，使，連接，，則，，，四點(diǎn)共面，然后證明即可.

解：（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，

，分別為，的中點(diǎn)，，，

又四邊形是平行四邊形，，，

為的中點(diǎn)，，.

，，則四邊形為平行四邊形，

.

平面，平面，

平面；

（2）存在點(diǎn)符合題目條件，且此時(shí).

取的中點(diǎn)，連接交于，在上取點(diǎn)，使，

連接，，則，，，四點(diǎn)共面.

證明如下：在平行四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，

，又是的中點(diǎn)，

是的重心，且.

又，，

，，

與確定一個(gè)平面，而直線，

，則，，，四點(diǎn)共面.

故在線段上存在一點(diǎn)，使得，，，四點(diǎn)共面.