Question

已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：①x＞1時(shí)，f（x）＜0；②f(

1

2

)=1③對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求證：f（1）=0，f(

1

x

)=-f(x)；
（2）求證：f（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)；
（3）求不等式f（2）+f（5-x）≥-2的解集．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）=0，令x=x，y=

1

x

，即可證得f（

1

x

）=-f（x）；
（2）設(shè)任意0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，可證得f（x₂）-f（x₁）＜0；
（3）根據(jù)②可求得f（2）=-1，從而可得f（5-x）≥f（2），再利用f（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)，即可求得其解集．

解答：證明（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，
令x=x，y=

1

x

，則f（1）=f（x）+f（

1

x

）=0，即f（

1

x

）=-f（x），
（2）∵x＞1時(shí)，f（x）＜0，設(shè)任意0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（

1

x1

）=f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)；
（3）∵f（

1

2

）=1，f（

1

x

）=-f（x），
∴-f（2）=f（

1

2

）=1得，
∴f（2）=-1，即有f（2）+f（2）=-2，
∴f（2）+f（5-x）≥-2可化為f（2）+f（5-x）≥f（2）+f（2），
即f（5-x）≥f（2），又f（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)，
∴0＜5-x≤2，解得3≤x＜5．
∴原不等式的解集為：{x|3≤x＜5}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其用，難點(diǎn)在于（2）用單調(diào)性的定義證明f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減時(shí)的變化及（3）中對(duì)f（2）+f（5-x）≥-2的轉(zhuǎn)化，突出考查化歸思想，屬于難題．