(2013•嘉定區(qū)二模)如圖,已知點F(0,1),直線m:y=-1,P為平面上的動點,過點P作m的垂線,垂足為點Q,且
QP
QF
=
FP
FQ

(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)(理)過軌跡C的準線與y軸的交點M作直線m′與軌跡C交于不同兩點A、B,且線段AB的垂直平分線與y軸的交點為D(0,y0),求y0的取值范圍;
(3)(理)對于(2)中的點A、B,在y軸上是否存在一點D,使得△ABD為等邊三角形?若存在,求出點D的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)設(shè)P(x,y),由題意得Q(x,-1),即可得到
QP
,
QF
FP
,
FQ
,利用向量的數(shù)量積運算即可得出動點P的軌跡C的方程;
(2)利用(1)的軌跡方程即可得到準線方程及點M的坐標,設(shè)直線m'的方程為y=kx-1(k≠0),與拋物線方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,利用中點坐標和垂直平分線的性質(zhì)即可得到線段AB的垂直平分線的方程即可;
(3)利用(2)的結(jié)論,點到直線的距離公式及等邊三角形的判定即可得出.
解答:解:(1)設(shè)P(x,y),由題意,Q(x,-1),
QP
=(0 , y+1)
QF
=(-x , 2)
,
FP
=(x , y-1)
,
FQ
=(x , -2)

QP
QF
=
FP
FQ
,得2(y+1)=x2-2(y-1),
化簡得x2=4y.所以,動點P的軌跡C的方程為x2=4y.
(2)軌跡C為拋物線,準線方程為y=-1,
即直線m,∴M(0,-1),
設(shè)直線m'的方程為y=kx-1(k≠0),由
y=kx-1
x2=4y
 得x2-4kx+4=0,
由△=16k2-16>0,得k2>1.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k,
所以線段AB的中點為(2k,2k2-1),
所以線段AB垂直平分線的方程為(x-2k)+k[y-(2k2-1)]=0,
令x=0,得y0=2k2+1
因為k2>1,所以y0∈(3,+∞).
(3)由(2),x1+x2=4k,x1x2=4,
|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
(1+k2)(x1-x2)2
=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=
(1+k2)(16k2-16)
=4
(k2+1)(k2-1)

假設(shè)存在點D(0,y0),使得△ABD為等邊三角形,
則D到直線AB的距離d=
3
2
|AB|

因為D(0,2k2+1),所以d=
|y0+1|
1+k2
=
2(k2+1)
k2+1
=2
k2+1
,
所以2
k2+1
=2
3
k2+1
k2-1
,解得k2=
4
3

所以,存在點D(0 , 
11
3
)
,使得△ABD為等邊三角形.
點評:本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)、向量的數(shù)量積、準線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、等邊三角形的定義、點到直線的距離公式、線段的垂直平分線及對稱等基礎(chǔ)知識,考查運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力.
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1
|x-1|
,x≠1
1,x=1
,若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有3個不同的整數(shù)解x1,x2,x3,則x12+x22+x32等于
5
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2
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