Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ （m∈R）在區(qū)間[1，e]取得最小值4，則m= ．

Answer 1

【答案】﹣3e
【解析】解：函數(shù) 的定義域?yàn)椋?，+∞），

．

當(dāng)f′（x）=0時(shí)， ，此時(shí)x=﹣m，如果m≥0，則無(wú)解．

所以，當(dāng)m≥0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，m=﹣4，矛盾舍去；

當(dāng)m＜0時(shí)，

若x∈（0，﹣m），f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，若x∈（﹣m，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，

所以f（﹣m）=ln（﹣m）+1為極小值，也是最小值；

①當(dāng)﹣m＜1，即﹣1＜m＜0時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，所以m=﹣4（矛盾）；

②當(dāng)﹣m＞e，即m＜﹣e時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，f（x）min=f（e）=1﹣ =4．所以m=﹣3e．

③當(dāng)﹣1≤﹣m≤e，即﹣e≤m≤1時(shí)，f（x）在[1，e]上的最小值為f（﹣m）=ln（﹣m）+1=4．此時(shí)m=﹣e3＜﹣e（矛盾）．

綜上m=﹣3e．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．