已知動點P與雙曲線x2－y2＝1的兩個焦點F1，F(xiàn)2的距離之和為定值，且cos∠F1PF2的最小值為－．

(1)求動點P的軌跡方程；

(2)設(shè)M(0，－1)，若斜率為k(k≠0)的直線l與P點的軌跡交于不同的兩點A、B，試求k的取值范圍，使|MA|＝|MB|．

答案：
解析：

＋y2＝1；k∈(－1，0)∪(0，1)

(1)∵x2－y2＝1，∴c2＝1＋1＝2，c＝

設(shè)|PF1|＋|PF2|＝2a(常數(shù)a＞0)，由2a＞2c＝2，∴a＞

由余弦定理有cos∠F1PF2＝

　　　　　　　　　　�。�

　　　　　　　　　　�。剑�1

∵|PF1||PF2|≤()2＝a2

∴當且僅當|PF1|＝|PF2|時，|PF1||PF2|取得最大值a2．

此時cos∠F1PF2取得最小值－1

由題意－1＝－，解得a2＝3

∴P點的軌跡方程為＋y2＝1

①

(2)設(shè)l：y＝kx＋m(k≠0)

②

與①聯(lián)立得

②代入①得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0

(*)

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB中點Q(x0，y0)的坐標滿足

x0＝

即Q(－)

∵|MA|＝|MB|，∴M在AB的中垂線上

∴klkAB＝k·＝－1

解得m＝

③

又由(*)由兩個實數(shù)根，知△＞0，即

(6km)2－4(1＋3k2)[3(m2－1)]＝12(1＋3k2－m2)＞0

④

將③代入④得

12[1＋3k2－()2]＞0

解得－1＜k＜1，

由k≠0，∴k的取值范圍是k∈(－1，0)∪(0，1)


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動點P的軌跡方程為：
x2
4
-
y2
5
=1（x＞2），O是坐標原點．
①若直線x-my-3=0截動點P的軌跡所得弦長為5，求實數(shù)m的值；
②設(shè)過P的軌跡上的點P的直線與該雙曲線的兩漸近線分別交于點P1、P2，且點P分有向線段
P1P2
所成的比為λ（λ＞0），當λ∈[
3
4
，
3
2
]時，求|
OP1
|•|
OP2
|的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：學(xué)習(xí)周報　數(shù)學(xué)　人教課標高二版(A選修1－1)　2009－2010學(xué)年　第18期　總第174期 人教課標版(A選修1－1) 題型：044

已知雙曲線C以x±y＝0為漸近線，且過點A(3，2)．

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)已知動點P與雙曲線C的兩個焦點所連線段長的和為6，求動點P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：學(xué)習(xí)周報　數(shù)學(xué)　人教課標版高二(A選修2－1)　2009－2010學(xué)年　第18期　總第174期 人教課標版(A選修2－1) 題型：044

已知雙曲線C以x±y＝0為漸近線，且過點A(3，2)．

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)已知動點P與雙曲線C的兩個焦點所連線段長的和為6，求動點P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)P(a,b)（b≠0）是平面直角坐標系xOy中的點，l是經(jīng)過原點與點(1,b)的直線，記Q是直線l與拋物線x2＝2py（p≠0）的異于原點的交點

⑴.已知a＝1，b＝2，p＝2，求點Q的坐標。

⑵.已知點P(a,b)（ab≠0）在橢圓+y2＝1上，p＝，求證：點Q落在雙曲線4x2－4y2＝1上。

⑶.已知動點P(a,b)滿足ab≠0，p＝，若點Q始終落在一條關(guān)于x軸對稱的拋物線上，試問動點P的軌跡落在哪種二次曲線上，并說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（上海卷理20）設(shè)P(a,b)（b≠0）是平面直角坐標系xOy中的點，l是經(jīng)過原點與點(1,b)的直線，記Q是直線l與拋物線x2＝2py（p≠0）的異于原點的交點

⑴已知a＝1，b＝2，p＝2，求點Q的坐標.

⑵已知點P(a,b)（ab≠0）在橢圓+y2＝1上，p＝，求證：點Q落在雙曲線4x2－4y2＝1上.

⑶已知動點P(a,b)滿足ab≠0，p＝，若點Q始終落在一條關(guān)于x軸對稱的拋物線上，試問動點P的軌跡落在哪種二次曲線上，并說明理由.

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