Question

已知a＞0，b＞0，且a²+b²=

9

2

，若a+b≤m恒成立，
（Ⅰ）求m的最小值；
（Ⅱ）若2|x-1|+|x|≥a+b對任意的a，b恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式,函數的最值及其幾何意義,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）變形已知表達式，利用柯西不等式，求出a+b的最大值，即可求m的最小值；
（Ⅱ）通過2|x-1|+|x|≥a+b對任意的a，b恒成立，結合（Ⅰ）的結果，利用x的范圍分類討論，求出實數x的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a²+b²=

9

2

，
∴9=（a²+b²）（1²+1²）≥（a+b）²，
∴a+b≤3，（當且僅當a=b，即a=b=

3

2

時取等號），
又∵a+b≤m恒成立，∴m≥3．
故m的最小值為3；
（Ⅱ）要使2|x-1|+|x|≥a+b恒成立，則2|x-1|+|x|≥3恒成立，
∴

x≤0 -2x+2-x≥3

或

0＜x≤1 -2x+2+x≥3

或

x＞1 2x-2+x≥3

，
解得：x≤-

1

3

或x≥

5

3

．
∴實數x的取值范圍是(-∞，-

1

3

]∪[

5

3

，+∞)．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，函數恒成立的應用，考查計算能力，是中檔題．