Question

【題目】已知函數(shù) ，且 .

（Ⅰ）設(shè) ，求的單調(diào)區(qū)間及極值；

（Ⅱ）證明：函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的上方.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 當(dāng)時(shí)， ．(Ⅱ)詳見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可得，則= ，求導(dǎo)即可研究單調(diào)區(qū)間及極值；

（Ⅱ）證明：函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的上方，等價(jià)于，即，只要證得，可通過(guò)證明即可.

試題解析：

（Ⅰ）解：由，所以，解得，

又得，所以，

于是，則，由，

所以的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間，

當(dāng)時(shí)，．

（Ⅱ）證明：“函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的上方”等價(jià)于“”，即要證：，又，

所以只要證．

由（Ⅰ）得，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），

所以只要證明當(dāng)時(shí)，即可．

設(shè)，

所以，令，解得，

由得，所以在上為增函數(shù)，

所以，即，

所以，故函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的上方.