18.fx)是定義在[0,1]上的增函數(shù),滿足fx)=2f)且f(1)=1,在每個(gè)區(qū)間(,)(i=1,2,…)上,y=fx)的圖象都是斜率為同一常數(shù)k的直線的一部分.

(Ⅰ)求f(0)及f),f)的值,并歸納出f)(i=1,2,…)的表達(dá)式;

(Ⅱ)設(shè)直線x=,x=、x軸及y=fx)的圖象圍成的梯形的面積為aii=1,2,…),記Sk)=a1+a2+…+an),求Sk)的表達(dá)式,并寫出其定義域和最小值.

18.主要考查函數(shù)、數(shù)列等基本知識(shí),考查分析問題和解決問題的能力.

解:

(Ⅰ)由f(0)=2f(0),得f(0)=0.

f(1)=2f)及f(1)=1,得f)=f(1)=.

同理,f)=f)=.

歸納得f)=i=1,2,…).

(Ⅱ)當(dāng)x時(shí),fx)=+kx),

ai=++k)](

   =(1-i=1,2,…).

所以{an}是首項(xiàng)為(1-),公比為的等比數(shù)列,

Sk)的定義域?yàn)?<k≤1,當(dāng)k=1時(shí)取得最小值.


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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

己知f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù),且對(duì)任意的x∈(0,+∞),點(diǎn)(f(x)-lnx,1)總在函數(shù)y=f(x)的圖象上,則方程f(x)+2x-7=0的解所在的區(qū)間為( 。

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設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù),并且滿足f(xy)=f(x)+f(y),f(
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)=1

(1)求f(1)的值;
(2)如果f(x)+f(2-x)<2,求x的取值范圍.

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(1)對(duì)于定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x),滿足xf′(x)+2f(x)<0,求證:函數(shù)y=x2f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù);
(2)請(qǐng)你認(rèn)真研讀(1)中命題并聯(lián)系以下命題:若f(x)是定義在(0,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù),滿足xf′(x)+f(x)<0,則y=xf(x)是(0,+∞)上的減函數(shù).然后填空建立一個(gè)普遍化的命題:設(shè)f(x)是定義在(0,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù),n∈N+,若
x
x
×f′(x)+n×f(x)<0,則
y=xnf(x)
y=xnf(x)
是(0,+∞)上的減函數(shù).
注:命題的普遍化就是從考慮一個(gè)對(duì)象過渡到考慮包含該對(duì)象的一個(gè)集合;或者從考慮一個(gè)較小的集合過渡到考慮包含該較小集合的更大集合.
(3)證明(2)中建立的普遍化命題.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf′(x)+f(x)≤0對(duì)任意正數(shù)a,b若a<b,給出下列四個(gè)結(jié)論:
(1)bf(b)≤af(a);
(2)af(a)≤bf(b);
(3)bf(a)≤af(b);
(4)af(b)≤bf(a).
其中正確結(jié)論的序號(hào)是
(1)(4)
(1)(4)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf′(x)-f(x)≥0,對(duì)任意正數(shù)m,n若m≥n,則mf(n)與nf(m)的大小關(guān)系是mf(n)
nf(m)(請(qǐng)用≤,≥,或=)

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