Question

【題目】已知橢圓的離心率是，過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，．

（1）求橢圓的方程

（2）當(dāng)變化時(shí)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為底的等腰三角形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意可得關(guān)于a，b，c的方程組，求出a，b，c即可求橢圓的方程；

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解．

（1）過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，．

得橢圓過點(diǎn)，得，

解得，所以橢圓的方程為：.

（2）設(shè)，的中點(diǎn).

由，得，

所以，.

①當(dāng)時(shí)，線段的垂直平分線的方程為.

令，得，即.

若，則，那么；

若，則，

，所以或.

②當(dāng)時(shí)，.

綜上所述，存在點(diǎn)滿足條件，取值范圍是.