已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(1,0)兩點(diǎn),且圓心C在直線y=x+1上.
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)已知線段MN的端點(diǎn)M的坐標(biāo)(3,4),另一端點(diǎn)N在圓C上運(yùn)動(dòng),求線段MN的中點(diǎn)G的軌跡方程;
(3)是否存在斜率為1的直線l,使l被圓C截得的弦PQ,且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)?若存在求出直線l的方程,若不存在說明理由.
分析:(1)設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,由題意列出三個(gè)方程組成方程組,利用消元法求解;
(2)設(shè)出點(diǎn)G、N的坐標(biāo),再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式用G點(diǎn)的坐標(biāo)表示N點(diǎn)的坐標(biāo),再代入圓的方程,整理后得到點(diǎn)G軌跡方程;
(3)假設(shè)存在滿足條件的直線l并設(shè)出其方程和點(diǎn)P、Q的坐標(biāo),聯(lián)立圓的方程和直線方程消元后得到一元二次方程,再由韋達(dá)定理得到兩根的乘積和判別式的符號(hào)求出b的范圍,由OP⊥OQ列出關(guān)系式,求出b的值注意驗(yàn)證.
解答:解:(1)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x-a)2+(y-b)2=r2,
由題意列方程組,
(-3-a)2+b2=r2
  (1-a)2+b2=r2
    b=a+1
,解得,a=-1,b=0,r=2
∴所求圓的方程為:(x+1)2+y2=4
(2)設(shè)N(x1,y1),G(x,y),
∵線段MN的中點(diǎn)是G,
∴由中點(diǎn)公式得
x1+3
2
=x
y1+4
2
=y
?
x1=2x-3
y1=2y-4

∵N在圓C上,∴(2x-2)2+(2y-4)2=4,
即(x-1)2+(y-2)2=1,
∴點(diǎn)G的軌跡方程是(x-1)2+(y-2)2=1.
(3)設(shè)存在這樣的直線l,并設(shè)直線方程為:y=x+b
(x+1)2+y2=4
y=x+b
?2x2+(2b+2)x+b2-3=0?x1x2=
b2-3
2

△=4(b+1)2-8(b2-3)>0?1-
2
<b<1+
2

同理可得:y1y2=
(b-1)2-4
2
②;
∵以PQ為直徑的圓過原點(diǎn)O,
∴OP⊥OQ,即x1x2+y1y2=0,把①②代入化簡得,b2-b-3=0
解得,b=
13
2
;
∴經(jīng)檢驗(yàn)存在兩條這樣的直線l:y=x+
13
2
點(diǎn)評:本題是直線與圓的方程綜合性題,考查了用待定系數(shù)法求圓的方程,用代入法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;對于存在性的處理方法,先假設(shè)存在再由題意用設(shè)而不求思想和韋達(dá)定理列出關(guān)系式,注意驗(yàn)證所求值的范圍.
練習(xí)冊系列答案
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已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(0,2)和B(-3,3),且圓心C在直線l:x+y+5=0上.
(1)求線段AB的垂直平分線方程;
(2)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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已知圓心為C的圓經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)O(0,0)、A(1,3)、B(4,0)
(1)求圓C的方程;
(2)求過點(diǎn)P(3,6)且被圓C截得弦長為4的直線的方程.

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已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(0,1)和B(-2,3),且圓心在直線l:x+2y-3=0上.
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若圓C的切線在x軸,y軸上的截距相等,求切線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,4),B(3,6),且圓心C在直線4x-3y=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)已知直線l:y=x+m(m為正實(shí)數(shù)),若直線l截圓C所得的弦長為
14
,求實(shí)數(shù)m的值.
(3)已知點(diǎn)M(-4,0),N(4,0),且P為圓C上一動(dòng)點(diǎn),求|PM|2+|PN|2的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(4,1)和B(0,-3),且圓心C在直線l:2x-y-5=0上.
(Ⅰ)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)P(4,-8)直線l與圓C交點(diǎn)M、N兩點(diǎn),且|MN|=4,求直線l的方程.

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