【題目】如圖,直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直.,,,.
(1) 求證:;
(2) 求直線與平面所成角的正弦值;
(3) 線段上是否存在點,使平面若存在,求出;若不存在,說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)線段上存在點,使得平面,且.
【解析】
(1)取AB中點O,連接EO,DO.利用等腰三角形的性質(zhì),可得EO⊥AB,證明邊形OBCD為正方形,可得AB⊥OD,利用線面垂直的判定可得AB⊥平面EOD,從而可得AB⊥ED;
(2)由平面ABE⊥平面ABCD,且EO⊥AB,可得EO⊥平面ABCD,從而可得EO⊥OD.建立空間直角坐標(biāo)系,確定平面ABE的一個法向量為,,利用向量的夾角公式,可求直線EC與平面ABE所成的角;
(3)存在點F,且時,有EC∥平面FBD.確定平面FBD的法向量,證明=0即可.
(1)證明:取AB中點O,連接EO,DO.
因為EB=EA,所以EO⊥AB.
因為四邊形ABCD為直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC,
所以四邊形OBCD為正方形,所以AB⊥OD
因為EO∩OD=O
所以AB⊥平面EOD
因為ED平面EOD
所以AB⊥ED.
(2)解:因為平面ABE⊥平面ABCD,且 EO⊥AB,平面ABE∩平面ABCD=AB
所以EO⊥平面ABCD,
因為OD平面ABCD,所以EO⊥OD.
由OB,OD,OE兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz.
因為△EAB為等腰直角三角形,所以O(shè)A=OB=OD=OE,設(shè)OB=1,所以O(shè)(0,0,0),A(﹣1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1).
所以,平面ABE的一個法向量為.
設(shè)直線EC與平面ABE所成的角為θ,
所以 ,
即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為.
(3)解:存在點F,且時,有EC∥平面FBD.證明如下:由 ,,所以.
設(shè)平面FBD的法向量為=(a,b,c),則有
所以取a=1,得=(1,1,2).
因為=(1,1,﹣1)(1,1,2)=0,且EC平面FBD,所以EC∥平面FBD.
即點F滿足時,有EC∥平面FBD.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為等差數(shù)列,且(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)記的前項和為,若成等比數(shù)列,求正整數(shù)的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題 : 表示雙曲線,命題 : 表示橢圓。
(1)若命題與命題 都為真命題,則 是 的什么條件?
(請用簡要過程說明是“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”和“既不充分也不必要條件”中的哪一個)
(2)若 為假命題,且 為真命題,求實數(shù) 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,放置的邊長為1的正方形沿軸滾動,點恰好經(jīng)過原點.設(shè)頂點的軌跡方程是,則對函數(shù)有下列判斷:
①若,則函數(shù)是偶函數(shù);
②對任意的,都有;
③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;
④函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).
其中判斷正確的序號是________.(寫出所有正確結(jié)論的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān),現(xiàn)對名小學(xué)六年級學(xué)生進行了問卷調(diào)查,并得到如下列聯(lián)表.平均每天喝以上為“常喝”,體重超過為“肥胖”.
常喝 | 不常喝 | 合計 | |
肥胖 | 2 | ||
不肥胖 | 18 | ||
合計 | 30 |
已知在全部人中隨機抽取人,抽到肥胖的學(xué)生的概率為.
(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整;
(2)是否有的把握認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)?請說明你的理由;
(3)已知常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生中恰有2名女生,現(xiàn)從常喝碳酸飲料且肥胖的學(xué)生中隨機抽取2人參加一個有關(guān)健康飲食的電視節(jié)目,求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值;
(2)若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不相等的實根,求實數(shù)的取值范圍.(其中為自然對數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與抽象能力(指標(biāo)x)、推理能力(指標(biāo)y)、建模能力(指標(biāo)z的相關(guān)性,將它們各自量化為1、2、3三個等級,再用綜合指標(biāo)w=x+y+x的值評定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級;若則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級:若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級,為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),調(diào)查人員隨機訪問了某校10名學(xué)生,得到如下數(shù)據(jù):
(1)在這10名學(xué)生中任取兩人,求這兩人的建棋能力指標(biāo)相同條件下綜合指標(biāo)值也相同的概率;
(2)在這10名學(xué)生中任取三人,其中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級足一級的學(xué)生人數(shù)記為X,求隨機變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望。
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