Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，D（0，2）為橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)，F為橢圓C的右焦點(diǎn)，線(xiàn)段DF的延長(zhǎng)線(xiàn)與橢圓C相交于點(diǎn)E，且|DF|=3|EF|．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線(xiàn)OA與OB的斜率之積為-，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）+=1（2）[-1，0）∪（0，1]．

【解析】

（1）先由條件得b，再根據(jù)條件得E坐標(biāo)，代入橢圓方程解得a2（2）先設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，化簡(jiǎn)條件得y1y2=x1x2，再代入化簡(jiǎn)=x1x2，聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，解得x1，x2，最后根據(jù)基本不等式求最值，解得取值范圍.

解：（1）設(shè)橢圓的方程為+=1，（a＞b＞0），右焦點(diǎn)F（c，0），

∵D（0，2）為橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)，

∴b=2，

∵|DF|=3|EF|，

∴E（，-），

∴+=1，即a2=2c2，

又c2=a2-4，

∴a2=2（a2-4），

解得a2=8，

故橢圓方程為+=1．

（2）∵kOAkOB=＜0，設(shè)kOA=k≠0，則kOB=，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

∴=，

即y1y2=x1x2，

∴=x1x2+y1y2=x1x2，

由，消y可得x2+2k2x2=8，即x12=，

同理x22==，

∴x12x22==≤==4，

當(dāng)且僅當(dāng)4k2=，即k=±時(shí)取等號(hào)，

∴-2≤x1x2≤2，且x1x2≠0，

∴-1≤t≤1，且t≠0，

故的取值范圍為[-1，0）∪（0，1]．