設(shè)雙曲線方程
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)的半焦距為c，直線l過(guò)（a，0），（0，b）兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線l的距離為
3
4
c．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）經(jīng)過(guò)該雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為2的直線m被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為15，求雙曲線的方程．
（1）b＞a⇒b2＞a2⇒c2-a2＞a2⇒c2＞2a2⇒e2＞2⇒e＞
2
…（2分）
直線l的方程為
x
a
+
y
b
=1，即bx+ay-ab=0，由原點(diǎn)到直線l的距離為
3
4
c得d=
ab
a2+b2
=
ab
c
=
3
4
c，即16a2（c2-a2）=3c4，…（4分）
兩邊同時(shí)除以a4得16（e2-1）=3e4，整理得3e4-16e2+16=0，解得e2=
4
3
或4…（5分）
又e＞
2
，故雙曲線的離心率為e=2…（6分）
（2）由（1）知道e=2即c=2a，所以設(shè)雙曲線的方程為
x2
a2
-
y2
3a2
=1
又由題意得直線m方程為y=2（x-2a），代入雙曲線方程得…（7分）
3x2-4（x-2a）2=3a2，整理得x2-16ax+19a2=0…（8分）
記直線m與雙曲線的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），則有x1+x2=16a，x1x2=19a2…（9分）∴|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
5(256a2-76a2)
=30a=15∴a=
1
2
…（11分）
∴所求雙曲線方程為
x2
1
4
-
y2
3
4
=1…（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為
2
2
，以線段F1F2為直徑的圓的面積為π，設(shè)直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F2（l不垂直坐標(biāo)軸），且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，
（1）求橢圓的方程；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M（m，0），試求m的取值范圍；
（3）求△ABF1面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

橢圓
x2
45
+
y2
20
=1的焦點(diǎn)分別為F1和F2，過(guò)原點(diǎn)O作直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．若△ABF2的面積是20，則直線AB的方程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，直線l：y=x+2與圓x2+y2=b2相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C的交點(diǎn)為A，B，求弦長(zhǎng)|AB|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的焦點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，PF1⊥OX軸，且OP和橢圓的一條長(zhǎng)軸頂點(diǎn)A和短軸頂點(diǎn)B的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率e
（2）若Q是橢圓上任意一點(diǎn)，證明∠F1QF2≤
π
2

（3）過(guò)F1與OP垂直的直線交橢圓于M，N，若△MF2N的面積為20
3
，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

橢圓E的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=
2
3
，過(guò)點(diǎn)C（-1，0）的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且滿足：
CA
=λ
BC
（λ≥2）．
（1）若λ為常數(shù)，試用直線l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面積；
（2）若λ為常數(shù)，當(dāng)三角形OAB的面積取得最大值時(shí)，求橢圓E的方程；
（3）若λ變化，且λ=k2+1，試問(wèn)：實(shí)數(shù)λ和直線l的斜率k（k∈R）分別為何值時(shí)，橢圓E的短半軸長(zhǎng)取得最大值？并求出此時(shí)的橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A（-
2
，0）、B（
2
，0），離心率e=
2
2
．過(guò)該橢圓上任一點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點(diǎn)C在QP的延長(zhǎng)線上，且|PC|=（
2
-1）|PQ|．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（3）設(shè)直線MN過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=
8
2
7
，求直線MN的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C過(guò)點(diǎn)P（1，
3
2
），兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

過(guò)（2，0）點(diǎn)且傾斜角為60°的直線與橢圓
x2
5
+
y2
3
=1相交于A，B兩點(diǎn)，則AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．

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同步練習(xí)冊(cè)答案