【題目】如圖，曲線是以原點(diǎn)O為中心、為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，曲線是以O為頂點(diǎn)、為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，A是曲線和的交點(diǎn)且為鈍角，若，.

（1）求曲線和的方程；

（2）過作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線依次交于B、C、D、E四點(diǎn)，若G為CD中點(diǎn)、H為BE中點(diǎn)，問是否為定值？若是求出定值；若不是說明理由.

【答案】（1）橢圓方程為，拋物線方程為； （2）見解析。

【解析】

（1）因?yàn)樵跈E圓中2a＝|AF1|+|AF2|6，所以可求曲線C1方程．因?yàn)榍�C2是以O為頂點(diǎn)、F2為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，A是曲線C1和C2的交點(diǎn)．|AF1|，|AF2|，所以利用拋物線定義，可求曲線C2方程；

（2）先設(shè)出B、C、D、E四點(diǎn)坐標(biāo)，過F2作的與x軸不垂直的直線方程，在分別與橢圓方程，拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系，求的值，看結(jié)果是否為定值．

（1）設(shè)橢圓方程為，則，得

設(shè)，，則，，

兩式相減得，由拋物線定義可知，

則，或，（舍去）

所以橢圓方程為，拋物線方程為。

另解：過作垂直于x軸的直線，即拋物線的準(zhǔn)線，作AH垂直于該準(zhǔn)線，

作軸于，則由拋物線的定義得，

所以

，

，得，所以c＝1，

，

所以橢圓方程為，拋物線方程為。

（2）設(shè)，，，，

直線，代入得，，即，

則，

同理，將代入得：，

則，，

所以

為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率；

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)函數(shù)有極值時(shí)，若對(duì)， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖，曲線是以原點(diǎn)O為中心、為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，曲線是以O為頂點(diǎn)、為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，A是曲線和的交點(diǎn)且為鈍角，若，.

（1）求曲線和的方程；

（2）過作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線依次交于B、C、D、E四點(diǎn)，若G為CD中點(diǎn)、H為BE中點(diǎn)，問是否為定值？若是求出定值；若不是說明理由.

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【題目】已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過曲線與軸的交點(diǎn).

(1)求圓的方程；

(2)已知過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與圓交兩點(diǎn)，若，求直線的方程.

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【題目】如圖，公園里有一湖泊，其邊界由兩條線段和以為直徑的半圓弧組成，其中為2百米，為．若在半圓弧，線段，線段上各建一個(gè)觀賞亭，再修兩條棧道，使. 記．

（1）試用表示的長；

（2）試確定點(diǎn)的位置，使兩條棧道長度之和最大.

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【題目】如圖，MN分別是邊長為1的正方形ABCD的邊BCCD的中點(diǎn)，將正方形沿對(duì)角線AC折起，使點(diǎn)D不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過程中，有以下結(jié)論:

①異面直線AC與BD所成的角為定值.

②存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直.

③存在某個(gè)位置，使得直線MN與平面ABC所成的角為45°.

④三棱錐M-ACN體積的最大值為.

以上所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分別是B1C1，AB，AA1的中點(diǎn).

(1) 求證：EF∥平面A1BD；

(2) 若A1B1＝A1C1，求證：平面A1BD⊥平面BB1C1C.

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【題目】設(shè)橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，. 若，且，則的離心率為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】某農(nóng)場有一塊等腰直角三角形的空地，其中斜邊的長度為400米.為迎接“五一”觀光游，欲在邊界上選擇一點(diǎn)，修建觀賞小徑，其中分別在邊界上，小徑與邊界的夾角都為.區(qū)域和區(qū)域內(nèi)種植郁金香，區(qū)域內(nèi)種植月季花.

（1）探究：觀賞小徑與的長度之和是否為定值？請(qǐng)說明理由；

（2）為深度體驗(yàn)觀賞，準(zhǔn)備在月季花區(qū)域內(nèi)修建小徑，當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，三條小徑的長度和最��？

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