Question

【題目】對于命題P：存在一個常數M，使得不等式 對任意正數a，b恒成立．
（1）試給出這個常數M的值；
（2）在（1）所得結論的條件下證明命題P；
（3）對于上述命題，某同學正確地猜想了命題Q：“存在一個常數M，使得不等式 對任意正數a，b，c恒成立．”觀察命題P與命題Q的規(guī)律，請猜想與正數a，b，c，d相關的命題．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意，由于 對任意正數a，b恒成立，

令a=b得： ，

故

（2）解：要證明 ，

先證明 ．

∵a＞0，b＞0，要證上式，只要證3a（2b+a）+3b（2a+b）≤2（2a+b）（2b+a），

即證a2+b2≥2ab即證（a﹣b）2≥0，這顯然成立．

∴ ．

再證明 ．

∵a＞0，b＞0，要證上式，只要證3a（2a+b）+3b（2b+a）≥2（a+2b）（b+2a），

即證a2+b2≥2ab即證（a﹣b）2≥0，這顯然成立．

∴

（3）解：猜想結論：存在一個常數M，使得不等式 對任意正數a，b，c，d恒成立
【解析】（1）根據題意，利用特殊值法，令a=b可得， ，分析即可得M的值；（2）由分析法的思路：先證明 ，再類比可以證明 ，綜合即可得證明；（3）利用類比推理的思路，分析可得答案．