Question

求由直線x=1,x=2和y=0及曲線y=x³圍成的圖形的面積.

Answer 1

解：(1)分割

如圖，把曲邊梯形ABCD分割成n個(gè)小曲邊梯形,用分點(diǎn)把區(qū)間［1,2］等分成n個(gè)小區(qū)間：［1,］,［］,…,［］,…,［］,每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為Δx=,過(guò)各分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形ABCD分割成n個(gè)小曲邊梯形,它們的面積分別記作ΔS₁,ΔS₂,…,ΔS_n.

(2)近似代替取各小區(qū)間的左端點(diǎn)ξ_i,用以點(diǎn)ξ_i的縱坐標(biāo)ξ_i³為一邊,以小區(qū)間長(zhǎng)Δx=為其鄰邊的小矩形面積近似代替第i個(gè)小曲邊梯形面積,可以近似地表示為

ΔS_i≈ξ_i³·Δx=(i=1,2,3,…,n).

(3)求和

因?yàn)槊恳粋�(gè)小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值,所以n個(gè)小矩形面積的和就是曲邊梯形ABCD面積S的近似值,即

                                 ①

(4)求極限

當(dāng)分點(diǎn)數(shù)目愈多,即Δx愈小時(shí),和式①的值就愈接近曲邊梯形ABCD的面積S.因此,n→∞即Δx→0時(shí),和式①的極限就是所求的曲邊梯形ABCD的面積.

∵

∴