Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，na_n+1=2（n十1）a_n+n（n+1），（n∈N^*），
（I）若bn=

an

n

+1，試證明數列{b_n}為等比數列；
（II）求數列{a_n}的通項公式a_n與前n項和Sn．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用數列遞推式，證明b_n+1=2b_n，即可證明數列{b_n}為等比數列；
（II）利用bn=

an

n

+1，可數列{a_n}的通項公式a_n，利用錯位相減法可求數列的和．

解答：（Ⅰ）證明：∵na_n+1=2（n+1）a_n+n（n+1），∴

an+1

n+1

=

2an

n

+1，…（2分）
∴

an+1

n+1

+1=

2an

n

+2=2(

an

n

+1)，即b_n+1=2b_n，
又b₁=2，所以{b_n}是以2為首項，2為公比的等比數列．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知bn=2n，∴

an

n

+1=2n，∴an=n(2n-1)，…（8分）
∴

S

n

=1×(2-1)+2×(22-1)+3×(23-1)+…+n(2n-1)=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n）=1×2+2×22+3×23+…+n•2n-

n(n+1)

2

．…（10分）
令Tn=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，
則2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1，
兩式相減得：-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1，Tn=2(1-2n)+n•2n+1=(n-1)•2n+1+2．…（12分）
∴Sn=(n-1)•2n+1+2-

n(n+1)

2

．…（13分）

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查數列的通項與求和，正確運用求和方法是關鍵．