Question

13．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線是直線l：x=-2，焦點(diǎn)是F．
（1）求拋物線C的方程．
（2）若l與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在拋物線C上，且M到焦點(diǎn)F的距離為8，求△AFM的面積S．

Answer 1

分析 （1）由拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線是直線l：x=-2，求出p，即可求拋物線C的方程．
（2）設(shè)拋物線上的點(diǎn)M（x₀，y₀），求得|MF|，再由三角形的面積公式計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）由已知得：$-\frac{p}{2}=-2∴p=4$---------------------------------------------（2分）
所以拋物線C的方程是：y²=8x----------------------------------------------（4分）
（2）由已知得：A（-2，0），F(xiàn)（2，0），所以|AF|=4-------------------------（6分）
設(shè)拋物線上的點(diǎn)M（x₀，y₀），
由拋物線的定義知：$|{MF}|={x_0}+\frac{p}{2}={x_0}+2=8∴{x_0}=6$-------------------------------------------（8分）
代入$y_0^2=8{x_0}$，得$y_0^2=8×6=48∴|{y_0}|=4\sqrt{3}$----------------------------（10分）∴$S=\frac{1}{2}|{AF}||{y_0}|=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$-----------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)考查三角形的面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．