【題目】已知在四棱錐中,底面是矩形,且,,平面,、分別是線段、的中點.
(1)證明:
(2)在線段上是否存在點,使得∥平面,若存在,確定點的位置;若不存在,說明理由.
(3)若與平面所成的角為,求二面角的余弦值
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)
【解析】
試題分析:(1)利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系,準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo),從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.(2)證明證線線垂直,只需要證明直線的方向向量垂直;(3)把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;(4)空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運算,應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識形體特征,建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,實施幾何問題代數(shù)化.同時注意兩點:一是正確寫出點、向量的坐標(biāo),準(zhǔn)確運算;二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理條件要完備.
試題解析:解法一:(1)∵ 平面,,,,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則. 2分
不妨令∵,∴,
即. 4分
(2)設(shè)平面的法向量為,由,得,令,
得:.∴. 6分
設(shè)點坐標(biāo)為,,則,要使∥平面,只需,即,得,從而滿足的點即為所求. 8分
(3)∵,∴是平面的法向量,易得, 9分
又∵平面,∴是與平面所成的角,
得,,平面的法向量為 10分
∴,
故所求二面角的余弦值為. 12分
解法二:(1)證明:連接,則,,
又,∴ ,∴ 2分
又,∴ ,又,
∴ 4分
(2)過點作交于點,則∥平面,且有 5分
再過點作∥交于點,則∥平面且,∴ 平面∥平面 7分 ∴ ∥平面.從而滿足的點即為所求. 8分
(3)∵平面,∴是與平面所成的角,且.
∴ 9分
取的中點,則,平面,
在平面中,過作,連接,則,
則即為二面角的平面角 10分
∵∽,∴ ,∵,且
∴ ,,∴ 12分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點為,點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點的直線,交橢圓于兩點,點在橢圓上,坐標(biāo)原點恰為的重心,求直線的方程.
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【題目】為了普及環(huán)保知識,增強環(huán)保意識,某校從理科甲班抽取60人,從文科乙班抽取50人參加環(huán)保知識測試.
優(yōu)秀人數(shù) | 非優(yōu)秀人數(shù) | 總計 | |
甲班 | |||
乙班 | 30 | ||
總計 | 60 |
(Ⅰ)根據(jù)題目完成列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為環(huán)保知識成績優(yōu)秀與學(xué)生的文理分類有關(guān).
(Ⅱ)現(xiàn)已知, , 三人獲得優(yōu)秀的概率分別為, , ,設(shè)隨機變量表示, , 三人中獲得優(yōu)秀的人數(shù),求的分布列及期望.
附: ,
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若直線是函數(shù)圖象的一條切線,求實數(shù)的值;
(2)若函數(shù)在上的最大值為(為自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)的值;
(3)若關(guān)于的方程有且僅有唯一的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】下列幾個命題
①奇函數(shù)的圖象一定通過原點
②函數(shù)y= 是偶函數(shù),但不是奇函數(shù)
③函數(shù)f(x)=ax﹣1+3的圖象一定過定點P,則P點的坐標(biāo)是(1,4)
④若f(x+1)為偶函數(shù),則有f(x+1)=f(﹣x﹣1)
⑤若函數(shù)f(x)= 在R上的增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為[4,8)
其中正確的命題序號為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形中, , 為邊的中點,將沿直線翻轉(zhuǎn)成.若為線段的中點,則在翻折過程中:
①是定值;②點在某個球面上運動;
③存在某個位置,使;④存在某個位置,使平面.
其中正確的命題是_________.
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【題目】某科研小組研究發(fā)現(xiàn):一棵水果樹的產(chǎn)量(單位:百千克)與肥料費用(單位:百元)滿足如下關(guān)系: .此外,還需要投入其它成本(如施肥的人工費等)百元.已知這種水果的市場售價為16元/千克(即16百元/百千克),且市場需求始終供不應(yīng)求.記該棵水果樹獲得的利潤為(單位:百元).
(1)求的函數(shù)關(guān)系式;
當(dāng)投入的肥料費用為多少時,該水果樹獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
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【題目】如圖,四邊形與都是邊長為的正方形,點是的中點, 平面.
(1)求證: 平面;
(2)求證:平面平面;
(3)求平面與平面所成銳二面角的正切值.
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【題目】已知動點 P 與定點的距離和它到定直線 x 4 的距離的比是1: 2 ,記動點 P 的軌跡為曲線 E.
(1)求曲線 E 的方程;
(2)設(shè) A 是曲線 E 上的一個點,直線 AF 交曲線 E 于另一點 B,以 AB 為邊作一個平行四邊形,頂點 A、B、C、D 都在軌跡 E 上,判斷平行四邊形 ABCD 能否為菱形,并說明理由;
(3)當(dāng)平行四邊形 ABCD 的面積取到最大值時,判斷它的形狀,并求出其最大值.
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