Question

(2009湖南卷理)（本小題滿分12分）

如圖4，在正三棱柱中，

D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且。

（I）                    證明平面平面

（II）                  求直線和平面所成角的正弦值。           

Answer 1

解析：（I） 如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面

又DE平面ABC，所以DEAA.

而DEAE。AAAE=A  所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。

（2）解法1  如圖所示，設(shè)F使AB的中點(diǎn)，連接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性質(zhì)及D是AB的中點(diǎn)知ABCD，  ABDF            

又CDDF=D，所以AB平面CDF，

而AB∥AB，所以

AB平面CDF，又AB平面ABC，故

平面AB C平面CDF。

過點(diǎn)D做DH垂直CF于點(diǎn)H，則DH平面AB C。           

連接AH，則HAD是AD和平面ABC所成的角。

由已知AB=A A，不妨設(shè)A A=，則AB=2，DF=，D C=，

CF=，AD==，DH==―，

所以 sinHAD==。

即直線AD和平面AB C所成角的正弦值為。

 

解法2  如圖所示，設(shè)O使AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)

A A=，則AB=2，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

A(0,-1,0)， B（，0，0），  C（0，1，），  D（，-，）。

易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，）           

設(shè)平面ABC的法向量為n=（x，y，z）,則有

解得x=-y， z=-，

故可取n=(1，-，)。

所以，(n?)===。

由此即知，直線AD和平面AB C所成角的正弦值為。