【題目】已知函數(shù)．

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（2）已知不等式在上恒成立，求實數(shù)的最大值；

（3）當(dāng)時，求函數(shù)的零點個數(shù)．

【答案】（1）見解析（2）（3）9個

【解析】

(1) 當(dāng)時，可得是偶函數(shù)，當(dāng)時，可得是非奇非偶函數(shù).
(2) 當(dāng)時, ,即將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，只要使．然后求出的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最小值.
（3）當(dāng)時，，得到得或，問題即求和和三個方程總的解的個數(shù)．

解：（1）函數(shù)定義域為，關(guān)于原點對稱．

當(dāng)時，，，

，

則是定義在上的偶函數(shù)；

當(dāng)時，，，

且，

所以是非奇非偶函數(shù)．

（2）當(dāng)時，，即已知在上恒成立，

即在上恒成立，

令，只要使．

，因為，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，

即的最小值是，

解不等式，得．所以實數(shù)的最大值是．

（3）當(dāng)時，，解得或，

問題即求和和三個方程總的解的個數(shù)．

由（1）得函數(shù)是偶函數(shù)，

當(dāng)時，，，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；

所以，且

由偶函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

方程有3個解；方程有2個解；

方程有4個解；所以函數(shù)的零點個數(shù)是9個．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍，并證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關(guān)系，對該校名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時間進行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）

將學(xué)生日均體育鍛煉時間在的學(xué)生評價為“鍛煉達標(biāo)”．

（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表：

并通過計算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“鍛煉達標(biāo)”與性別有關(guān)？

（2）在“鍛煉達標(biāo)”的學(xué)生中，按男女用分層抽樣方法抽出人，進行體育鍛煉體會交流．

（i）求這人中，男生、女生各有多少人？

（ii）從參加體會交流的人中，隨機選出人發(fā)言，記這人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考公式：，其中．

臨界值表：

0.10

0.05

0.025

0.010

0

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知過原點的動直線與圓： 交于兩點.

（1）若，求直線的方程；

（2）軸上是否存在定點，使得當(dāng)變動時，總有直線的斜率之和為0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某地區(qū)某種昆蟲產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān).現(xiàn)收集了一只該品種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（個）和溫度（）的7組觀測數(shù)據(jù)，其散點圖如所示：

根據(jù)散點圖，結(jié)合函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)產(chǎn)卵數(shù)和溫度可用方程來擬合，令，結(jié)合樣本數(shù)據(jù)可知與溫度可用線性回歸方程來擬合．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計算得到如下值：

27

74

182

表中，．

（1）求和溫度的回歸方程（回歸系數(shù)結(jié)果精確到）；

（2）求產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程；若該地區(qū)一段時間內(nèi)的氣溫在之間（包括與），估計該品種一只昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)的范圍.（參考數(shù)據(jù)：，，，，．）

附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，四棱錐中，側(cè)面底面，底面是平行四邊形，，，，是中點，點在線段上.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若 ，求實數(shù)使直線與平面所成角和直線與平面所成角相等.

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【題目】一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，設(shè)棋子跳到第n站的概率為，一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次．若擲出奇數(shù)點，棋子向前跳一站；若擲出偶數(shù)點，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站(獲勝)或第100站(失敗)時，游戲結(jié)束(骰子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個面分別標(biāo)有點數(shù)1，2，3，4，5，6)．

(1)求，，，并根據(jù)棋子跳到第n站的情況，試用和表示；

(2)求證：為等比數(shù)列；

(3)求玩該游戲獲勝的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．

（1）當(dāng)時，若函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，若，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（題文）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形EDCF是正方形，．

(1)證明：；

(2)已知四邊形ABCD是等腰梯形，且，求五面體ABCDEF的體積.

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