Question

設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）求過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線被橢圓所截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo).

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：(1)由橢圓過(guò)已知點(diǎn)和橢圓的離心率可以列出方程組，解方程組即可，也可以分步求解；(2)直線方程和橢圓方程組成方程組，可以求解，也可以利用根與系數(shù)的關(guān)系；然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.

試題解析：（1）將點(diǎn)代入橢圓C的方程得， 1分

由，得， 3分

橢圓C的方程為 4分

（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線為 5分

設(shè)直線與橢圓C的交點(diǎn)為，

將直線方程代入橢圓C方程，整理得 7分

由韋達(dá)定理得

10分

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為

所以所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為 12分.

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線的方程；3.直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題.