Question

（2011•武進(jìn)區(qū)模擬）函數(shù)f(x)=

1

2

ax2-bx-lnx，a＞0，f'（1）=0．
（1）①試用含有a的式子表示b；②求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)P（x₀，y₀）（其中x₀在x₁與x₂之間），使得點(diǎn)P處的切線l∥AB，則稱AB存在“伴隨切線”，當(dāng)x0=

x1+x2

2

時(shí)，又稱AB存在“中值伴隨切線”．試問(wèn)：在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在兩點(diǎn)A、B，使得AB存在“中值伴隨切線”？若存在，求出A、B的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）①先求導(dǎo)函數(shù)，再利用f'（1）=0，可用含有a的式子表示b；②求導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)大于0的函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再利用中值伴侶切線的意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具，求出g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）①f′(x)=ax-b-

1

x

∵f'（1）=0，∴b=a-1．（2分）
②f′(x)=

(ax+1)(x-1)

x

∵x＞0，a＞0
∴當(dāng)x＞1時(shí)f'（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0
∴f（x）增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）（6分）
（2）不存在   （7分）  （反證法）
若存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，
則曲線y=f（x）在x0=

x1+x2

2

的切線斜率k=f′(x0)=a•

x1+x2

2

-b-

2

x1+x2

又kAB=

y2-y1

x2-x1

=a•

x1+x2

2

-b-

lnx2-lnx1

x2-x1

∴由k=k_AB得lnx2-lnx1-

2(x2-x1)

x2+x1

=0①（11分）
令t=

x2

x1

＞1，則①化為lnt+

4

t+1

=2②
令g(t)=lnt+

4

t+1

（t＞1）
∵g′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0
∴g（t）在（1，+∞）為增函數(shù)   （15分）
又t＞1∴g（t）＞g（1）=2此與②矛盾，
∴不存在         （16分）

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查存在性問(wèn)題，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解．