Question

【題目】對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]D，同時滿足：

①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；

②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．

（1）證明：[0，1]是函數(shù)y=f（x）=x2的一個“和諧區(qū)間”．

（2）求證：函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．

（3）已知：函數(shù)（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當a變化時，求出n﹣m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),在區(qū)間上單調(diào)遞增,且值域也為滿足“和諧區(qū)間”的定義,即可得到結(jié)論；（2）該問題是一個確定性問題,從正面證明有一定的難度,故可采用反證法來進行證明；（3）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集,我們可以用表示出的取值,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題后,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可以得到答案.

試題解析：（1）y=x2在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增．

又f（0）=0，f（1）=1，

值域為[0，1]，

區(qū)間[0，1]是y=f（x）=x2的一個“和諧區(qū)間”．

（2）設(shè)[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集．

故函數(shù)在[m，n]上單調(diào)遞增．

若[m，n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則

故m、n是方程的同號的相異實數(shù)根．

x2﹣3x+5=0無實數(shù)根，

函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．

（3）設(shè)[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集．

x≠0，

故函數(shù)在[m，n]上單調(diào)遞增．

若[m，n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則

故m、n是方程，即的同號的相異實數(shù)根．

，

m，n同號，只須，即a＞1或a＜﹣3時，

已知函數(shù)有“和諧區(qū)間”[m，n]，

當a=3時，n﹣m取最大值