Question

對(duì)定義域分別是D_f、D_g的函數(shù)y=f（x）、y=g（x），規(guī)定：函數(shù)h(x)=

f(x)•g(x)  當(dāng)x∈Df且x∈Dg f(x)          當(dāng)x∈Df且x∉Dg g(x)          當(dāng)x∉Df且x∈Dg

．
（1）若函數(shù)f(x)=

1

x

，g（x）=x²+4，寫(xiě)出函數(shù)h（x）的解析式；
（2）求問(wèn)題（1）中函數(shù)h（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由于函數(shù)f(x)=

1

x

，g（x）=x²+4，對(duì)x進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)x≠0時(shí)，h（x）=f（x）g（x）；當(dāng)x=0時(shí)，h（x）=x²+4．從而得出h（x）的解析式；
（2）對(duì)于x的取值進(jìn)行分類(lèi)：若x＞0；若x＜0；分別求得它們的最值，最后綜合即得函數(shù)h（x）的值域．

解答：解：（1）由于函數(shù)f(x)=

1

x

，g（x）=x²+4，根據(jù)題意得：
當(dāng)x≠0時(shí)，h（x）=f（x）g（x）=

x 2+4

x

；
當(dāng)x=0時(shí)，h（x）=x²+4．
h（x）=

x 2+4 x ，x≠0 x 2+4，x=0

…（5分）
（2）當(dāng)x≠0時(shí)，h(x)=x+

4

x

若x＞0⇒h（x）≥4其中等號(hào)當(dāng)x=2時(shí)成立，…（8分）
若x＜0⇒h（x）≤-4其中等號(hào)當(dāng)x=-2時(shí)成立，…（10分）
∴函數(shù)h（x）的值域?yàn)椋?∞，-4]∪[4，+∞）…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的值域、函數(shù)解析式的求解及常用方法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．