【題目】在如圖的空間幾何體中，是等腰直角三角形，，四邊形為直角梯形，，為中點.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若，求與平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取中點為，連接和，可得面面，進(jìn)而可得結(jié)論；

（Ⅱ）法一，利用幾何法求線面角；法二，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量運算求線面角.

法一：（Ⅰ）證明：取中點為，連接和，

有，面，

有，面，

，面面.

面，平面；

（Ⅱ）四邊形為梯形，，為中點，

，即四邊形為平行四邊形，

.

要求與平面所成角，只需求與平面所成角，

連接，，

由題意可知，，，

面，

面面，

點到面的距離就是點到的距離.

，

面，，

，

，又，，

點到的距離為.

在三棱錐中，，

根據(jù)，.

記點到面的距離為，

由，得.

所以與平面所成角的正弦為.

法二：以為軸，過點作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)點

由題意可得：

由

設(shè)平面法向量為，

，

即：，

故與平面所成角的正弦值為.

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（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列，的通項公式；

（Ⅲ）設(shè)=++…+，如果對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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（1）證明：.

（2）當(dāng)平面PAC時，求直線PA與平面EFG所成角的正弦值.

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