Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₃=5，a₅-2a₂=3，又?jǐn)?shù)列{b_n}中，b₁=3且3bn-bn+1=0(n∈N*)
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項(xiàng)和分別是S_n，T_n，且cn=

Sn(2Tn+3)

n

．求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和M_n；
（Ⅲ）若M_n＞9logm

3

4

(m＞0，且m≠1)對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則由題設(shè)得：

a1+2d=5 a1+4d-2(a1+d)=3

，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；由3b_n-b_n+1=0，知

bn+1

bn

=3，(n∈N*)，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（II）由（I）可得Sn=

n(1+2n-1)

2

=n2，Tn=

3-3n×3

1-3

=

1

2

(3n+1-3)．cn=

n2(3n+1-3+3)

n

=n•3n+1，由此利用錯(cuò)位相減法能求出M_n=

9

4

[(2n-1)×3n+1](n∈N*)，由此能求出若M_n＞9logm

3

4

(m＞0，且m≠1)對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則由題設(shè)得：

a1+2d=5 a1+4d-2(a1+d)=3

即

a1+2d=5 -a1+2d=3

，
解得

a1=1 d=2

，
∴an=1+(n-1)×2=2n-1(n∈N*)．
∵3b_n-b_n+1=0∴

bn+1

bn

=3，(n∈N*)，
∴數(shù)列{b_n}是以b₁=3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列．
∴bn=3×3n-1=3n(n∈N*)．
（II）由（I）可得Sn=

n(1+2n-1)

2

=n2，
Tn=

3-3n×3

1-3

=

1

2

(3n+1-3)．
∴cn=

n2(3n+1-3+3)

n

=n•3n+1．
∴M_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n-1+c_n
Mn=1×32+2×33+3×34+…+(n-1)×3n+n×3n+1…(1)3Mn=1×33+2×34+3×35+…+(n-1)×3n+1+n×3n+2…(2)
（1）-（2）得：-2Mn=32+33+34+…+3n+1-n×3n+2=

32-3n+1×3

1-3

-n×3n+2，
∴M_n=

9

4

[(2n-1)×3n+1](n∈N*)．…（3）
M_n+1-M_n=

9

4

[(2n+1)×3n+1+1]-

9

4

[(2n-1)×3n+1]
=9（n+1）×3ⁿ＞0Mn+1＞Mn，(n∈N*)，
∴當(dāng)n=1時(shí)，∴M_n取最小值，M₁=9，
∴9＞9logm

3

4

即logm

3

4

＜1
當(dāng)m＞1時(shí)，logm

3

4

＜1恒成立；
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，由logm

3

4

＜1=log_mm，得m＜

3

4

，
∴0＜m＜

3

4

．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|0＜m＜

3

4

或m＞1}．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列通項(xiàng)、錯(cuò)位求和與不等式等知識(shí)，考查化歸、轉(zhuǎn)化、方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力．
（刪除第二個(gè)II）