Question

【題目】（題文）如圖，長(zhǎng)方形材料中，已知，.點(diǎn)為材料內(nèi)部一點(diǎn)，于，于，且，. 現(xiàn)要在長(zhǎng)方形材料中裁剪出四邊形材料，滿足，點(diǎn)、分別在邊，上.

（1）設(shè)，試將四邊形材料的面積表示為的函數(shù)，并指明的取值范圍；

（2）試確定點(diǎn)在上的位置，使得四邊形材料的面積最小，并求出其最小值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)當(dāng)時(shí)，四邊形材料的面積最小，最小值為.

【解析】分析：（1）通過(guò)直角三角形的邊角關(guān)系，得出和，進(jìn)而得出四邊形材料的面積的表達(dá)式，再結(jié)合已知尺寸條件，確定角的范圍.

（2）根據(jù)正切的兩角差公式和換元法，化簡(jiǎn)和整理函數(shù)表達(dá)式，最后由基本不等式，確定面積最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在上的位置.

詳解：解：（1）在直角中，因?yàn)?/span>，，

所以，

所以，

在直角中，因?yàn)?/span>，，

所以，

所以，

所以 ，.

（2）因?yàn)?/span> ，

令，由，得，

所以 ，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)，，，

答：當(dāng)時(shí)，四邊形材料的面積最小，最小值為.